40: Reticolo di resistenze

[sall96]

Sempre un IPhO vecchio, semplice ma molto carino

Si consideri un reticolo infinito di resistenze (tutte di resistenza ) come in figura. Si trovi la resistenza tra i due punti A e B.

[Simone256]

Hahahahaha il buon vecchio lemma del dado <3

[andrea96]

Hahahahaha il buon vecchio lemma del dado <3

[sall96]

Hahahahaha il buon vecchio lemma del dado <3

Ehm..., cosa??

[Simone256]

Per coinvolgere il mondo del forum nell'ambito del lemma del dado (ideato alla scuola estiva di fisica).

Lanciando un dado:
se esce 1, 2, 3 hai perso;
se esce 4 lanci ancora;
se esce 5, 6 hai vinto.
Qual è la probabilitá di vittoria?

Trovo che la soluzione di questo problema sia moooolto simile all'idea che si deve avere per risolvere il problema della staffetta. In generale quest'idea è stata definita a sigillo "lemma del dado"

[andrea96]

Per rendervi conto dell'incredibile potenza di questo lemma, tenete presente che alla scuola estiva lo abbiamo pensato ( più che altro ci siamo resi conto che tanti problemi diversi potevano essere ricondotti a quella stessa idea ) quando mi è venuta la geniale idea di tirare in ballo il problema 2 di matematica di ammissione alla normale del 2013. Se siete interessati al "lemma del dado" provate ad applicarlo anche in quel problema

[sall96]

A proposito di ammissione alla normale: oggi mi sono accorto che il problema 3 di questa IPhO è identico al problema 4 di ammissione di quest'anno
Forse conviene veramente farle le IPhO vecchie

[Scugnamì]

Uhm dato che l'idea mi sembra molto interessante vi chiedo prima di tutto chiarimenti sul "lemma del dado". In particolare quel problema di probabilità io lo risolverei così:per vincere posso beccare i punteggi favorevoli a prima botta ( con probabilità ) oppure beccare il 4 (con probabilità ) e poi ritirare e vincere oppure ritirare ancora e vincere oppure ritirare ancora una volta in più e poi vincere e così via. In sintesi dovrei avere una roba del tipo . E' giusto?

Ora passando al problema io avevo pensato di farlo così: cerchiamo di trovare una formula che mi descriva per il esimo con finito la resistenza e di portarla all'infinito.
Ora detta la resistenza all' "colonna" , ci si rende conto che per come è fatto il circuito per passare a si deve mettere in parallelo una resistenza di con una resistenza e il loro parallelo in serie con un'altra resistenza .

Otteniamo allora una successione descritta da . Ora la serie è decrescente ma positiva ed ogni termine è maggiore di per cui ammetterà limite finito e lo troviamo scrivendo: . Il tutto ci porta ad un' equazione di secondo grado la cui soluzione positiva vale . A ben vedere il risultato era prevedibile dato che maneggiando un po' con la serie ci si rendo conto che è composta da frazioni il cui numeratore e denominatore sono numeri di Fibonacci consecutivi(il che btw l'ho trovato fighissimo XD).
Detto ciò al resistenza dovrebbe allora essere . E' corretto?

[sall96]

Giusto! Vai con il prossimo

Per il problema del dado, senza ricorrere a serie geometriche si poteva fare così:

Sia la probabilità di vincere. Allora

da cui otteniamo (bello come i trucchi da olimpiadi della matematica si possano usare anche in fisica )

[andrea96]

Si la probabilità è però si puo fare in altri due modi molto piu semplici, uno dei quali è molto molto molto simile a quello che hai usato per trovare la resistenza.