Conservazione dell'energia

[Timmo]

Morale della storia: non esistono forze non conservative :

Ma la circuitazione del campo magnetico (magnetostatico) è non nulla, no?

[SkZ]

Non compiono lavoro ? il momento della forza di attrito statico fornisce energia cinetica rotazionale al corpo che altrimenti si comporterebbe come un normale corpo che scivola

momento rispetto a cosa? il centro di rotazione? e' il punto di contatto ergo momento nullo
L'attrito non fa lavoro altrimenti avremo perdita di energia in altre forme oltre cinetica e potenziale.
Per definizione una forza non conservativa e' quella che, quando fa lavoro, dissipa energia (generalmente in energia termica).
Sarebbe forse piu' giusto dire che e' una forza che fa aumentare l'entropia.
Una forza generalmente e' dissipativa quando produce un processo non reversibile.
Un pendolo, senza attrito, trasforma all'infinito energia potenziale in cinetica e viceversa. Appunto un processo reversibile.

perche' la ruota ruota? per il lavoro fatto da una forza esterna ovviamente
altrimenti non avremo movimento: un corpo non soggetto a forze esterne mantiene il suo stato di movimento uniforme.
Per farlo muovere compi del lavoro.

[.mg]

Morale della storia: non esistono forze non conservative :

Ma la circuitazione del campo magnetico (magnetostatico) è non nulla, no?

Sì, ma non bisogna tener conto solo della particella su cui il campo agisce, ma di tutto il sistema (quindi anche di chi genera il campo, che sono correnti elettriche). Infatti Feyman sottolinea come il principio di conservazione possa apparire non confermato se non si guarda (a un'analisi microscopica e non certo facile, sopratutto dal punto di vista dei conti) al sistema nel suo insieme. Il principio di conservazione dell'energia in tutto l'universo deve essere valido a causa dell'omogeneità del tempo (un esperimento fatto oggi deve dare gli stessi risultati di uno fatto domani e questo si dimostra facilmente usando la lagrangiana accennata prima (non voglio però indurre nessuno ad andarsi a studiare la lagrangiana ora! Quando arriverà il momento avrà modo di studiarla e magari apprezzarla!)).

Ma questo è un approccio moderno (anche perché richiede un'analisi microscopica), sicuramente non necessario per quanto riguarda le olimpiadi (la mia voleva essere giusto una curiosità, poi si avrà modo di approfondire in seguito)

[Meta*]

Sì, il punto di contatto fra ruota e piano è istantaneamente fermo (ammesso che si tratti di rotolamento puro, nel caso in cui ci sia anche un movimento traslatorio ciò non è più vero), quindi la forza d'attrito non compie lavoro sulla ruota.

ehm.. detto questo quale forza fa ruotare la ruota ? perchè la ruota ruota ?

[AxxMan]

Per quanto ne sappia io nel rotolamento si possono scegliere due punti di riferimento per il moto rotatorio, il punto di contatto o l'asse di rotazione della ruota, ma la velocità angolare rimane sempre quella. Quindi, a seconda del riferimento scelto, l'aumento di energia cinetica rotazionale dovrebbe essere attribuito rispettivamente alla forza peso e alla forza d'attrito statico, con risultati analoghi. In ogni caso è energia che può essere recuperata, per esempio facendo risalire il corpo rotante per un altro piano.

[SkZ]

ehm.. detto questo quale forza fa ruotare la ruota ? perchè la ruota ruota ?

perche' la ruota ruota? per il lavoro fatto da una forza esterna ovviamente
altrimenti non avremo movimento: un corpo non soggetto a forze esterne mantiene il suo stato di movimento uniforme.
Per farlo muovere compi del lavoro.

[Meta*]

ehm.. detto questo quale forza fa ruotare la ruota ? perchè la ruota ruota ?

perche' la ruota ruota? per il lavoro fatto da una forza esterna ovviamente
altrimenti non avremo movimento: un corpo non soggetto a forze esterne mantiene il suo stato di movimento uniforme.
Per farlo muovere compi del lavoro.

Appunto mi chiedevo quale fosse questa forza esterna come dice Axxman potrebbe essere la Fp a far ruotare la ruota se si sposta l'origine degli assi al punto di contatto.

[trottolino]

Per prima cosa, per capire il principio di minima azione, si devono fare un paio di considerazioni sulle traiettorie, e sui dati iniziali. Per semplicita' pensiamo ad un caso unidimensionale, ovvero un sistema costituito da una singola particella che si muove in un'unica direzione (estendere al caso multidimensionale non presenta alcuna difficolta', se non l'aumentare delle variabili e delle corrispondenti condizioni iniziali). Abbiamo detto che vogliamo conoscere le traiettorie di tutti i componenti del sistema per averne completa conoscenza, e che per farlo in realta' ci basta conoscere posizione e velocita' in un punto, a patto che le traiettorie siano soluzione di equazioni differenziali di secondo grado. Ebbene la soluzione di un'equazione di questo tipo in un certo intervallo di tempo (ovvero la traiettoria , fra e nel nostro caso unidimensionale) si puo' trovare anche fornendo un dato al tempo iniziale e uno a quello finale, a noi interessano i valori e (posizione iniziale e finale). Pensiamo ora di fissare una traiettoria ; chiameremo un'altra traiettoria che differisca, in maniera derivabile in , da quella iniziale (ovvero che sia derivabile) e che abbia gli stessi punti iniziale e finale, ovvero che ; chiameremo variazione della traiettoria il .

Possiamo ora definire l'azione, che chiameremo ; essa non e' altro che l'integrale della Lagrangiana nel tempo:

E' chiaro che e' un "macchinario" che ha come input una certa traiettoria , e come output un numero; per evidenziare la dipendenza dalla traiettoria scriveremo quindi anche .

Il principio di minima azione, che ora formuleremo, impone una certa condizione sulle traiettorie fisiche, ovvero quelle che descrivono il sistema, e come vedremo ci portera' a scrivere le equazioni differenziali che hanno per soluzione tali traiettorie.

Principio di minima azione
Si conoscano le posizioni iniziali e finali dei componenti del sistema. Le traiettorie fisiche, che rispettano tali dati iniziali, sono quelle che minimizzano l'azione, ovvero che soddisfano per ogni variazione che soddisfi le condizioni descritte sopra.

Ma come si fa materialmente a maneggiare ? Esso equivale a dire:

Si procede in maniera "analoga" ad uno sviluppo di Taylor, trascurando gli errori di ordine e si scrive (a rigore l'uguaglianza e' un abuso di notazione)
, ovvero si ha che
E' chiaro che , quindi possiamo integrare per parti il secondo termine, ricordando che agli estremi e , svanisce ottenendo:
Ora perche' il principio di minima azione sia soddisfatto, il secondo termine si deve azzerare per arbitrario, quindi le traiettorie fisiche devono soddisfare l'equazione differenziale detta di Eulero-Lagrange:

Ecco che abbiamo trovato l'equazione la cui soluzione, ricavata dai dati iniziali e , descrive il nostro sistema. Ci resta ora da capire come deve essere fatta la Lagrangiana per descrivere qualche sistema fisicamente sensato. Essa potrebbe nel caso piu' semplice contenere una parte dipendente solamente dalla velocita', che ci descriva la dinamica dei corpi liberi, ovvero quando non sono soggetti a forze. Se vogliamo poi che ad esempio l'equazione di Newton possa essere ricavata tramite l'equazione di Eulero-Lagrange, quest'ultima deve avere le dimensioni di una forza; ovvero la Lagrangiana quelle di un'energia. Come dovrebbe essere la piu' semplice Lagrangiana di questo tipo unidimensionale perche' la dinamica risultante dall'equazione non sia completamente banale (o assurda)?
Il seguito della storia, e perche' tutto cio' abbia a che fare con la conservazione dell'energia (ma anche della quantita' di moto, del momento angolare, eccetera eccetera) nelle prossime puntate...

[SkZ]

Il principio di minima azione e' un principio base della Fisica, nel senso che la fisica del movimento si basa su di lui. La teoria relativistica dell'elettrodinamica si fa partendo da lui.

La forza esterna dipende dal contesto: un cilindro che rotola su un piano inclinato e' accelerato dalla gravita', un rullo su un piano spinto da te e' accelerato da te, un rullo con asse fermo posto a contatto su un piano in movimento, dal piano.