288. Sfera tagliata

[DeoGratias]

Sia la forza che la calotta più grande esercita su quella più piccola, che per brevità chiamerò rispettivamente e . Si avrà . Per il teorema del guscio, il campo sulla superficie di è pari a , dove è il campo generato da B in un punto nell'intorno interno della propria superficie, a distanza da essa. Quindi . Ma è la forza che eserciterebbe su una calotta identica, distante da essa (con più vicina al centro della sfera rispetto a ), perciò per la Terza Legge di Newton, la forza che e esercitano su è la stessa.
Perciò, , visto che, per , e vanno a costituire un guscio sferico di carica .
Visto che, per simmetria, le componenti del campo si elidono, si ha
.

La forza che il piano carico appartenente ad esercita su quello appartenente a è , quindi la forza elettrostatica tra le due parti è attrattiva e vale

[Luca Milanese]

Esatto! A te la staffetta

[roncu]

@ Luca
Il valore della F piana mi veniva doppio perchè in realtà il campo superiore è . Si può dimostrare considerando una gaussiana di base infinitesima che racchiuda la carica positiva e imponendo che il campo interno alla superficie sia nullo? Inoltre volevo chiederti: anche nella usuale sfera carica con densità capita che considerata una dS il campo sarebbe verso l'esterno e altrettanto verso l'interno. Pertanto tutte le altre cariche devono generare su dS un campo che per metà annulla quello interno e per metà si aggiunge a dando il valore esterno e il valore interno nullo?

[Luca Milanese]

@ Luca
Si può dimostrare considerando una gaussiana di base infinitesima che racchiuda la carica positiva e imponendo che il campo interno alla superficie sia nullo?

Questo è un modo, oppure semplicemente puoi considerare che a te interessa solo il campo prodotto dalle cariche sull'altra superficie del dielettrico, che sai valere perchè, per gli scopi del problema, è il campo di una superficie carica infinita.

anche nella usuale sfera carica con densità capita che considerata una dS il campo sarebbe verso l'esterno e altrettanto verso l'interno. Pertanto tutte le altre cariche devono generare su dS un campo che per metà annulla quello interno e per metà si aggiunge a dando il valore esterno e il valore interno nullo?

Sì, le altre cariche generano un campo diretto verso l'esterno di , che non cambia verso tra subito dentro e subito fuori il guscio.

[roncu]

Grazie! Imparo molto da voi che siete così più preparati di me....

[Gamow00]

Aggiungo altre considerazioni che potrebbero tornare utili.

Sia la forza che la calotta più grande esercita su quella più piccola, che per brevità chiamerò rispettivamente e . Si avrà . Per il teorema del guscio, il campo sulla superficie di è pari a , dove è il campo generato da B in un punto nell'intorno interno della propria superficie, a distanza da essa. Quindi . Ma è la forza che eserciterebbe su una calotta identica, distante da essa (con più vicina al centro della sfera rispetto a ), perciò per la Terza Legge di Newton, la forza che e esercitano su è la stessa.

Avrete notato che l'ottima soluzione di DeoGratias non utilizza il fatto che le due parti siano delle calotte sferiche (almeno in questa prima considerazione), ma semplicemente il fatto che i due oggetti sono conduttori infinitamente vicini. Questo suggerisce che ci potrebbe essere un'altro modo di arrivare al risultato che in qualche modo usi poco la forma dei conduttori e più il fatto che sono in quella configurazione.

Questo modo esiste e si chiama principio dei lavori virtuali: al posto di lavorare con le forze(che causano confusione perchè non si capisce mai cosa bisogna essere considerato e cosa no), lavoriamo con le differenze di energia potenziale. Se immaginiamo di spostare uno dei due conduttori di e questo causa un aumento di energia potenziale , allora la forza che agisce tra le due parti è .

Il trucco da usare adesso è che l'energia potenziale può essere facilmente calcolata a partire dal campo elettrico: . Ci basta quindi solamente considerare le regioni nelle quali il campo elettrico cambia e vedere quanta energia è contenuta lì.
Quando sposto una calotta di , ho "creato" del campo elettrico tra i due piani conduttori, aumentando l'energia di , dove è l'area del "taglio" e è la densità di carica sui due piani.

Oltre a creare quel campo, muovere la calotta avrà "consumato" una regione di volume che conteneva un campo (il fatto che il campo elettrico punta in diverse direzioni all'interno di questa regione non ha alcuna importanza). Questo contributo fa scendere l'energia di .
Combinando , come già sapevamo.