288. Sfera tagliata

[Luca Milanese]

Abbiamo una sfera omogenea e conduttrice, di raggio , che viene tagliata da un piano distante dal suo centro. Tra le due parti così ottenute è inserito uno strato molto sottile di materiale isolante, al quale esse sono attaccate in modo da ricomporre la forma originaria della sfera. Sulla parte più piccola è posta una carica netta , l'altra è scarica. Si trovino, all'equilibrio:
a) la distribuzione di carica nell'oggetto;
b) la forza elettrostatica tra le due parti;
c) l'energia elettrostatica del sistema.

[roncu]

Visto che nessuno propone una soluzione vorrei provare la mia idea. La carica Q sulla calotta piccola superiore si distribuisce uniformemente sulla superficie in modo da rendere equipotenziale lo spazio occupato dalla medesima e nullo il campo elettrico interno. Facendo i conti, l'area totale è data dalla superficie della cupola più l'area del taglio piano che ha e che vale.
Essendo risulta in definitiva la densità superficiale . Sulla calotta grande sotto lo strato isolante la carica Q opera il fenomeno dell'induzione attrendo cariche negative nel taglio piano con densità esattamente opposta cioè . Infatti considerando una gaussiana cilindrica perpendicolare al taglio con basi dA, la superiore immersa nel campo elettrico nullo interno alla calotta superiore e l'inferiore immersa nel campo elettrico nullo interno alla calotta grande inferiore, la carica interna alla gaussiana deve essere nulla ovvero . Si determina insomma un condensatore con interposto l'isolante. Siccome nell'isolante non avviene la polarizzazione molecolare di un normale dielettrico, secondo me l'isolante può approssimarsi con il vuoto (costante dielettrica relativa ) e quindi il campo elettrico del condensatore, con linee di forza che partono dalle cariche positive e si chiudono su quelle inferiori negative, vale
. Pertanto
a) La distribuzione di carica nell'oggetto risulterebbe pari a sulla superficie della calotta superiore e sul taglio superiore, con densità sul taglio piano sotto l'isolante; la differenza viene indotta nel corpo della calotta inferiore ed è positiva. Fra questa e le cariche negative attratte nel taglio si genera un campo opposto all'equilibrio a quello nel condensatore.
b) La forza elettrostatica di attrazione dovrebbe essere quella fra le armature del condensatore ovvero

c) L'energia elettrostatica corrisponde al lavoro da effettuare per distruggere il sistema portando Q all'infinito. Considerata una gaussiana sferica esterna alla sfera data e ad essa concentrica di raggio r>R il flusso di E sarà ovvero per cui il lavoro effettuato per portare Q all'infinito mi risulterebbe

[Luca Milanese]

La carica Q sulla calotta piccola superiore si distribuisce uniformemente sulla superficie in modo da rendere equipotenziale lo spazio occupato dalla medesima e nullo il campo elettrico interno.

Sicuramente la calotta deve essere equipotenziale, ma non è con una distribuzione di carica superficiale uniforme che lo diventa.

Sulla calotta grande sotto lo strato isolante la carica Q opera il fenomeno dell'induzione attrendo cariche negative nel taglio piano con densità esattamente opposta

È giusto che le densità di carica sulle due facce dell'isolante sono opposte, se sono uniformi, tuttavia per il motivo di sopra il valore che tu trovi è sbagliato. Inoltre dovresti anche dire come si distribuisce la carica sul resto della calotta maggiore (ricorda che ciascuna parte dei sfera è isolata e quindi conserva la sua carica totale).

b) La forza elettrostatica di attrazione dovrebbe essere quella fra le armature del condensatore ovvero

Anche questo è sbagliato, sia per via degli errori nel punto precedente, sia perchè non tieni conto della forza fra le cariche presenti sul resto di ciascuna parte della sfera.

c) L'energia elettrostatica corrisponde al lavoro da effettuare per distruggere il sistema portando Q all'infinito. Considerata una gaussiana sferica esterna alla sfera data e ad essa concentrica di raggio r>R il flusso di E sarà ovvero per cui il lavoro effettuato per portare Q all'infinito mi risulterebbe

Qui il tuo errore sta nell'assumere che il campo esterno sia radiale e dipendente in ogni punto solo da (il che si trova essere effettivamente vero, ma non risulterebbe da come hai affrontato il primo punto) e nel dimenticare che il valore del campo stesso cambierebbe man mano che porti via . Comunque c'è un modo per calcolare l'energia richiesta che evita questi inconvenienti.

[roncu]

Si, farò una lunga riflessione perchè tutti gli errori che ho fatto già costituivano dubbi da parte mia. Nonostante ciò ho fatto bene a postarlo perchè capisco dove sbagliavo.

[DeoGratias]

Intanto provo l'1 e il 3. Innanzitutto il problema è ben posto, quindi se trovassimo una distribuzione di carica tale da generare un campo nullo all'interno del conduttore, saremmo sicuri che è quella giusta. Come ha già detto @roncu, in ogni punto la densità superficiale di carica sulle due superfici dell'isolante è opposta. Visto che non ci sono campi magnetici variabili, per ogni curva chiusa . Visto che il campo nel conduttore dev'essere nullo, calcolando la circuitazione su un cammino rettangolare avente due lati paralleli alla superficie dell'isolante e gli altri due ad essa perpendicolari, di cui uno passante per il centro del piano, si otterrebbe , dove è lo spessore dell'isolante, quindi è costante sulla superficie di quest'ultimo.
Visto che è molto piccolo, trascurando gli effetti di bordo il campo generato nel resto dello spazio è pressoché nullo, quindi anche le cariche sulla superficie della sfera dovranno dar luogo a un campo nullo all'interno di essa. Per il teorema del guscio, tale densità sarà anch'essa uniforme. Visto che le aree del piano isolante e delle due calotte sferiche sono rispettivamente , , , si avrà (ponendo sulla superficie dell'isolante dalla parte della calotta più piccola e sull'altra)

Quindi , .

L'energia potenziale del sistema è , dove l'integrale è esteso a tutto lo spazio. Visto che il campo è nullo per ed è lo stesso di una carica puntiforme posta al centro della sfera per , si ha

[Luca Milanese]

Tutto corretto, penso che la seconda volta volessi scrivere , come risulta dal tuo sistema di equazioni. Adesso resta la parte più interessante.

[DeoGratias]

Adesso resta la parte più interessante.

Anche la più difficile, mi sembra
Ancora non sono riuscito ad arrivare a qualcosa di concreto, tutte le strade che ho provato sembrano essere vicoli ciechi una più dell'altra.
Per prima cosa, la forza che una parte esercita sull'altra è data dalla risultante della forza con cui si attraggono i due piani carichi (calcolabile facilmente) e quella con cui si respingono le due calotte, visto che la forza esercitata dal piano dalla parte più piccola sulla calotta più grande è esattamente l'opposto di quella esercitata dalla calotta più piccola sul piano dalla parte più grande. Il problema si riduce quindi a calcolare la forza repulsiva tra le due calotte.
Innanzitutto, anche se non mi pare questo il caso, ho provato con un integrale: dovrebbe essere

Non mi pare così semplice, o almeno non tanto da avere una forma chiusa elegante.
Non mi sono venuti in mente molti altri modi di aggirare quell'integrale: le cariche immagini non sembrano semplificare la situazione, calcolando la variazione di energia di interazione si torna inevitabilmente al punto di prima; ho provato a sfruttare il fatto che in un punto vicinissimo alla superficie i campi generati dalle due calotte devono essere opposti, mentre in un punto subito fuori da essa la loro risultante dev'essere , ma anche questo approccio mi è sembrato fallimentare.

[Luca Milanese]

ho provato a sfruttare il fatto che in un punto vicinissimo alla superficie i campi generati dalle due calotte devono essere opposti, mentre in un punto subito fuori da essa la loro risultante dev'essere , ma anche questo approccio mi è sembrato fallimentare.

A me invece sembrerebbe un buon punto di partenza, anche se bisogna trovare pure qualche altra idea...

[roncu]

Allora ricapitolando abbiamo che sulla calotta piccola superiore e su quella grande inferiore abbiamo una densità che determina sulla piccola superiore una carica q'=(1/4)Q e su quella grande inferiore una carica q''=(3/4)Q. Sulle superfici piane le densità sono rispettivamente determinando su esse rispettivamente le cariche (3/4)Q e -(3/4)Q. Si vede che nella calotta più taglio superiore la carica è in totale Q mentre nella calotta più taglio inferiore la carica è in totale 0.
La forza elettrostatica attrattiva fra le armature del condensatore piano mi sembra
.
Invece per la forza repulsiva fra le calotte, da addizionare alla precedente, avrei pensato,indicando con l'angolo compreso fra R e la verticale, di ridurre ogni calotta alla carica puntiforme q' o q'' individuandone la quota e applicando poi la legge di Coulomb. Con un sistema simile a quello usato nel calcolo del centro di massa. Infatti in ciascuna calotta è possibile individuare la corona sferica infinitesima che porta la carica alla quota . Nel caso di quella superiore risulta
da cui risulterebbe . Per quella inferiore, integrando con lo stesso sistema fra e , mi risulterebbe . Allora la forza repulsiva fra le calotte sarebbe per una forza totale
complessivamente attrattiva.
Ovviamente più dei conti mi interessa il giudizio sul procedimento...

[Luca Milanese]

La forza elettrostatica attrattiva fra le armature del condensatore piano mi sembra
.

Il valore corretto è metà di questo: perchè?

Invece per la forza repulsiva fra le calotte, da addizionare alla precedente, avrei pensato,indicando con l'angolo compreso fra R e la verticale, di ridurre ogni calotta alla carica puntiforme q' o q'' individuandone la quota e applicando poi la legge di Coulomb.

Questo procedimento è privo di un vero fondamento e ti conduce a un risultato sbagliato. L'hint che lascio è quello di pensare alla Terza Legge di Newton