Galileiana 2009 (2)

SARLANGA · Messaggio da **SARLANGA** » 18 set 2009, 13:19

La terza legge di Keplero afferma che $\displaystyle T^2/a^3$ è un rapporto costante per tutti i pianeti che percorrono un'orbita ellittica con semiasse maggiore $\displaystyle a$ in un periodo $\displaystyle T$ . Si può allora definire questo rapporto anche con questa espressione: $\displaystyle C_G=4 \pi ^2 /(GM)$ , essendo $\displaystyle M$ la massa del Sole. Considera ora il caso di una piccola carica $\displaystyle -q<0$ in un campo elettrostatico generato da $\displaystyle Q>0$ .
a) Quali delle 3 leggi di Keplero sono valide anche nel caso dell'interazione elettrostatica?
b) Si esprima la costante $\displaystyle C_E$ in funzione della massa $\displaystyle m$ di $\displaystyle -q$ , delle cariche $\displaystyle -q$ e $\displaystyle Q$ e della costante dielettrica del vuoto $\displaystyle \epsilon _0$ .
Siano date due cariche $\displaystyle -q<0$ poste ad una distanza $\displaystyle r_1$ e $\displaystyle r_2=2r_1$ da $\displaystyle Q$ e siano $\displaystyle v_1$ e $\displaystyle v_2$ le loro velocità.
c) Sie sprima $\displaystyle v_2$ in funzione di $\displaystyle r_1$ e $\displaystyle v_1$ .
d) Quanto vale il periodo $\displaystyle T$ ?

Messaggio da **Ippo** » 19 set 2009, 22:36

Non me li ricordavo così i punti c e d

io ho fatto un altro problema, con una sola carica q in moto attorno a Q, dove r1 e r2 erano le distanze da Q dell' "afelio" e del "perielio" dell'ellisse. Ho fatto un epico errore di lettura?

Fedecart · Messaggio da **Fedecart** » 19 set 2009, 22:50

No Ippo l'ho fatto anch'io come te... La carica era una... Più veloce in perielio e più lenta in afelio, come l'analogo gravitazionale del momento angolare conservato, o per la seconda legge di Keplero, che è lo stesso...
Oppure l'epico errore di lettura l'abbiamo fatto in 2!!!

Messaggio da **Ippo** » 20 set 2009, 13:29

Ok

il punto (d) precisava che T andava espresso in funzione solo di r1 e v1.
Si applica la seconda legge di keplero, che afferma che la derivata temporale dell'area spazzata dal raggio vettore Q-q è una costante. Allora se la calcoliamo in r1 otteniamo il valore costante: ${dA \over dt}={r_1 dx \over 2 dt}={1 \over 2}r_1 v_1$ dove dx è lo spostamento nel tempo dt e l'area dA è approssimativamente quella di un triangolo di base dx e altezza r1.
L'area dell'ellisse vale notoriamente $A=\pi ab$ dove a e b sono i semiassi. Sappiamo che $a={r_1+r_2 \over 2}={3 \over 2}r_1$ e, con una piccola costruzione, ricaviamo $b= \sqrt{2}r_1$ ; ma allora
${dA \over dt}T=\pi a b=\pi {3 \sqrt2 \over 2}r_1^2$ ovvero $T=\pi 3 \sqrt2 {r_1 \over v_1}$

Davide90 · Messaggio da **Davide90** » 23 set 2009, 14:46

Ficosa come soluzione.

Io invece sono andato a calcolarmi quella famosa costante $\mathcal{C}_e= \dfrac{T^2}{a^3}$ attraverso la conservazione dell'energia se non ricordo male...

Loren Kocillari89 · Messaggio da **Loren Kocillari89** » 23 set 2009, 18:14

Ma nel punto a) sono valide tutte e tre le leggi di keplero giusto? Mi sembrerebbe troppo ovvio però

Davide90 · Messaggio da **Davide90** » 23 set 2009, 20:45

Si, sono tutte e tre valide. Data la totale analogia nella forma matematica tra la forza gravitazionale ed elettrica attrattiva ( $F\Rightarrow U_{pot} ; \ E$ ), qualsiasi legge o teorema valido per la cinematica di un caso vale anche per l'altro caso.

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