SSSUP 2009 n 4

[mrossi]

Due macchine termiche di Carnot e (assimilabili a un'unica macchina termica M) hanno un termostato a temperatura in comune. cede un calore a e assorbe calore da un termostato a temperatura . acquista un calore da e cede calore a .

a) Si calcoli il lavoro compiuto da M1, M2 e M.
b) Si calcolino i rendimenti di M1, M2 e M e si commenti il risultato.

c) Si trovi il valore di T0 che rende uguale il lavoro compiuto da M1 e M2 e quello che rende uguali i rendimenti.

d) Non me la ricordo bene, comunque mi sembra fosse collegata al secondo principio della termodinamica.

EDIT: Corretto M_2 con T_2. Grazie MrTeo

[MrTeo]

acquista un calore da e cede calore a .

Questo non mi è molto chiaro... era forse ?

[Hope]

nono è giusto il testo uno lo cede (M1)e l'altro lo acquista(M2) .In poche parole ci sono 3 termostati nella macchina M(uno in comune tra M2 e M1) .
domani posto la mia idea .nel primo caso a) ci dovrebbero essere 3 tre temperature differenti(essendo 3 termostati).Esco....

[MrTeo]

nono è giusto il testo uno lo cede (M1)e l'altro lo acquista(M2) .In poche parole ci sono 3 termostati nella macchina M(uno in comune tra M2 e M1) .
domani posto la mia idea .nel primo caso a) ci dovrebbero essere 3 tre temperature differenti(essendo 3 termostati).Esco....

Già, ma se ci sono tre termostati non capisco dove sia il terzo, dato che abbiamo solo e . Dalle tue informazioni mi sembra ce ne debba essere per forza un terzo, che mi sono permesso ( ) di chiamare ... questo è quello che sono riuscire a tirare fuori dal problema, ditemi un po' se vi sembra giusto oppure se non ho capito un tubo.

[mrossi]

No no ho sbagliato a scrivere, la macchina termica M2 acquista calore da T0 e lo cede a T2.

In pratica abbiamo tre termostati con . L'interpretazione che ha dato MrTeo è giusta.

[MrTeo]

A questo punto proviamo a mettere le mani in pasta
Prima parte piuttosto "scolastica"... a parte l'interessante commento, io non riesco a pensare a niente di meglio che dire che la macchina M lavora come se non ci fosse ed esistessero solamente le altre due sorgenti, si accettano altre considerazioni di maggior calibro
Ecco la risoluzione:

a)+b)



Per il punto c) il valore che uguaglia i rendimenti è la media geometrica tra le temperature delle due sorgenti, mentre per eguagliare i lavori dev'essere la media aritmetica:

c)



Sostituendo nella (1):



Mi domando solo se ci fosse un metodo un tantino più veloce per dimostrare che la media tra le temperature è uguale alla media tra i calori, chiunque ci arrivi faccia sapere... Per i rendimenti abbiamo invece:



Sul punto d) non ho ancora idee su come si possa collegare il tutto al secondo principio (penso cmq che si chiede se viola o no Clausius e Kelvin, di solito le domande sono quelle), ma se mi viene in mente qualcosa posto ancora...
Intanto controllate le mie risposte

[mrossi]

a b c corrette (o per lo meno le ho fatte così anch'io).

La d era una cosa tipo dire se è possibile (e se si in che modo) trasferire calore da T2 a T1 senza compiere lavoro o una cosa del genere, e infatti mi era sembrata banale.

[MrTeo]

Ah ok... adesso capisco come c'entrava il secondo principio

Mi domando solo se ci fosse un metodo un tantino più veloce per dimostrare che la media tra le temperature è uguale alla media tra i calori, chiunque ci arrivi faccia sapere...

Dimenticate questa idiozia di cui mi sono appena accorto, frutto della crisi di fine estate, ovviamente non si può dimostrare che la media tra due temperature in Kelvin è uguale alla media dei calori