145: Rotolando giù da una semisfera

[Ilgatto]

Iniziamo definendo la velocità orizzontale della pallina che è anche quella della semisfera per la conservazione della quantità di moto (le consideriamo in modulo). Per la conservazione dell'energia abbiamo . Notiamo innanzitutto che la pallina scende e aumenta la sua velocità, quindi ci sarà un momento in cui la sua velocità sarà troppo elevata per restare sulla semisfera e se ne staccherà. Questa velocità è quella che rende insufficiente la componente del peso perpendicolare alla superficie come forza centripeta. Quindi poniamo questa componente uguale alla nostra forza centripeta: . Combinando questa equazione con quella trovata in precedenza e notando che ovvero (la pallina si muove sulla superficie sferica finché non se ne stacca, quindi questa relazione è valida fino al momento del distacco dalla semisfera) otteniamo: . Ora ricaviamo dalla conservazione dell'energia ricordando il legame tra le velocità e la tangente ottenendo . Sostituendo e trasformando la tangente al quadrato in si ottiene .
L'unica soluzione tra e è quella di lance00.
Allo stesso modo si può ricavare la formula generale per qualsiasi rapporto tra le masse che è . Sarebbe interessante averne una formula esplicita, ma non saprei come trovarla.

[Gamow00]

Bene @ilgatto! La staffetta è tua. La formula esplicita puoi trovarla con la formula risolutiva delle equazioni di terzo grado, ma penso venga molto poco interessante...