Banco ottico

[Hope]

Alle estremit`a di un banco ottico sono fissati una sorgente isotropa di luce e uno schermo diffusore
omogeneo, ortogonale al banco. La distanza fra essi `e costante e pari a 120 cm. Spostando una lente
sottile lungo il banco ottico, sullo schermo si ottiene un’immagine nitida della sorgente in due diverse
posizioni della lente. Le dimensioni della sorgente sono piccole rispetto al diametro della lente e alle altre
distanze in gioco.
1. La lente `e convergente o divergente? Perch´e?
2. Perch´e si possa avere la situazione descritta, quanto pu`o essere, al massimo, la distanza focale della
lente?
Il rapporto delle dimensioni lineari fra queste due immagini cos`ı ottenute `e 1 : 9 :
3. Quanto vale la distanza focale della lente?
4. Quanto vale il rapporto fra l’irradiamento delle due immagini?

[Ippo]

1. la lente deve essere convergente per formare un'immagine reale sullo schermo - i raggi che divergono dalla sorgente isotropa devono essere convogliati verso l'immagine; se la lente fosse divergente si avrebbe un'immagine virtuale tra la sorgente e la lente, e sullo schermo apparirebbe qualcosa di sfocato.
2. deve essere

con
cioè

rappresenta una parabola che si massimizza per , dove si ha
Se si ha non si può ottenere la situazione descritta.
In caso contrario si può: per ogni valore della focale l'equazione ha due radici distinte

simmetriche rispetto al punto medio del segmento sorgente-schermo: ciò è ovvio dato che p e q sono interscambiabili nell'equazione della lente sottile.
3. si ha, per la solita costruzione geometrica, e con valore incognito dell'ingrandimento più piccolo.
si ricava cioè
segue perciò


EDIT: non avevo considerato che la lente assorbe potenze diverse nei due casi

[pascal]

Questo problema è stato assegnato nelle gare di secondo livello delle Olimpiadi di Fisica nel 2006.
Per il punto 4, la potenza luminosa che raggiunge la lente vale

,

dove S è l’area della lente. Nell’ipotesi che non vi siano perdite, tutta questa potenza raggiunge l’immagine di raggio e il suo irradiamento vale:



Procedendo analogamente per l’altra immagine, si ottiene .
Quindi



Infatti da e si ha :





dove è il raggio della sorgente.