71. Achille e la Tartaruga

[CaptainJohnCabot]

La staffetta ritorna con un classico...

Breve introduzione:
Il celeberrimo paradosso di Zenone ha causato svariate turbe mentali a molteplici tipi di studiosi prima di essere demolito dagli integrali di Leibniz. Ecco l'esposizione del paradosso da parte di Borges:

«Achille, simbolo di rapidità, deve raggiungere la tartaruga, simbolo di lentezza. Achille corre dieci volte più svelto della tartaruga e le concede dieci metri di vantaggio. Achille corre quei dieci metri e la tartaruga percorre un metro; Achille percorre quel metro, la tartaruga percorre un decimetro; Achille percorre quel decimetro, la tartaruga percorre un centimetro; Achille percorre quel centimetro, la tartaruga percorre un millimetro; Achille percorre quel millimetro, la tartaruga percorre un decimo di millimetro, e così via all'infinito; di modo che Achille può correre per sempre senza raggiungerla».

Il seguente problema è una sorta di dimostrazione alternativa a quella classica di Leibniz, che non solo elimina la semplificazione del moto rettilineo, ma permette di trovare anche delle condizioni sul tempo finito in cui Achille raggiunge la tartaruga. Ecco a voi il problema e buon lavoro.

Il problema:
La famigerata Tartaruga si muove arbitrariamente nel piano mantenendo il modulo della sua velocità costante. Achille la insegue muovendosi anche esso con velocità costante in modulo , dirigendosi istante per istante nella direzione della Tartaruga. Dimostrare che indipendentemente dalla traiettoria scelta dalla Tartaruga essa verrà raggiunta in un tempo finito se . Cosa si può dire del valore del tempo?

[Flaffo]

Questo problema mi ricorda le farfalle kamikaze

[CaptainJohnCabot]

Non viene affatto dallo stesso testo

[rocco]

Scrivo da scuola e non posso essere molto preciso. Del tempo come grandezza fisica si può dire quello che si dice di tutte le grandezze misurabili cioè riducibili a numeri: non è detto che la somma di infiniti termini infinitesimi diverga a infinito, come erroneamente voleva far credere Zenone che per es. non conosceva le serie geometriche. La somma dei tempi di percorrenza, sempre più piccoli, è finita. Se si tracciano i grafici degli spazi percorsi in funzione del tempo con si vede come la somma degli infiniti tempi di percorrenza degli infiniti distacchi sempre più piccoli (a partire dal distacco iniziale )sia FINITA e pari al tempo impiegato da Achille a raggiungere la Tartaruga.

[CaptainJohnCabot]

Il ragionamento di rocco è corretto. Tuttavia per continuare la staffetta bisogna svolgere una dimostrazione matematica rigorosa, con formule ecc... Alla fine della dimostrazione bisogna trovare che il tempo è minore di un certo valore. La seconda domanda consiste nell'esprimere questo valore.

Per rocco
Prova a mettere in formule il ragionamento che hai espresso e vedi cosa viene

[rocco]

Non so disegnare e provo a spiegarmi retoricamente. Suppongo che all'istante t=0 la tartaruga sia avanti di un tratto rispetto ad Achille che inizia ad inseguirla a velocità della tartaruga. Si disponga un sistema di coordinate (t,s) dove rappresentare le equazioni orarie. L'equazione oraria di Achille sarà e quella della tartaruga . Esse saranno rappresentate da rette, spiccate rispettivamente dall'origine e da , la prima con coefficiente angolare maggiore di quello della seconda e quindi formante un angolo maggiore con l'asse t. E' banale osservare che la prima retta deve allora incontrare la seconda all'istante
quando Achille raggiunge la tartaruga (tempo che sicuramente esiste ed è positivo). Ma la cosa importante da osservare è che esso risulta la somma di infiniti contributi infinitesimi così identificati: il primo addendo diciamo è quello in cui Achille ha percorso lo spazio mentre l'ordinata di è maggiore, il secondo è ()dove è l'istante in cui Achille raggiunge questa ordinata e ha un'ordinata ancora maggiore che Achille raggiunge all'istante e così via. E' palese che che risulta proprio come somma di infiniti contributi infinitesimi costruiti con il sistema descritto ed è FINITO contrariamente a come concluse Zenone.

[FedericoC.]

Io ho posto un sistema di riferimento in cui all'istante iniziale sia Achille che la tartaruga si trovano sull'asse x, in particolare ho posto Achille nell'origine e la tartaruga nel punto .

Ho scomposto le velocità in componenti scalari come:







Dove indica la posizione angolare della tartaruga in un istante e quindi la direzione della velocità di Achille, mentre indica la direzione istantanea della velocità della tartaruga.

Considerando il moto sull'asse x posso scrivere:

dove rappresentano intervalli infinitesimi di tempo in cui la direzione della tartaruga è costante

La posso riscrivere come: da cui:



Si nota dunque che il tempo è sempre finito in particolare è minimo quando i due "si vengono in contro" cioè se la tartaruga non cambia mai direzione ma va semplicemente nel verso negativo dell'asse delle x, mentre è massimo quando la tartaruga non cambia mai direzione e procede nel verso positivo dell'asse delle ascisse.
Tutti i tempi saranno dunque minori di:

che è come detto quello massimo

Spero abbia senso

[arna1998]

Si nota dunque che il tempo è sempre finito

Secondo me a questo punto dovresti dimostrare che

Perché così come è scritto il tempo potrebbe essere negativo, che significa che non si Achille non raggiunge mai la tartaruga.

[CaptainJohnCabot]

Per rocco
Ora la dimostrazione va bene ma non è ancora perfetta; non è detto infatti che

Per Federico
Se dimostri quello che ha detto arna dovrebbe venir fuori una dimostrazione rigorosa.

Il primo di voi due che corregge si aggiudica la staffetta
Poi prima di passare al prossimo problema vi posto la soluzione che riporta la fonte

[FedericoC.]

Per ovviare a questo, cosa che come giustamente come ha detto Arna andava esplicitata, avevo considerato il moto lungo l'asse y dove si ha:

dove dato che abbiamo che

Da ciò possiamo dire che

Ditemi pure se ho sbagliato qualcosa