Dinamica dei sistemi

[Simone256]

Non abbattiamoci, il problema non è indeterminato (o meglio lo è se non si specifica una cosa).
La tensione (o meglio le tensioni) non è definita univocamente dai parametri che hai sottolineato essere in gioco, ma dalla posizione spaziale dei due dischi! Se immaginiamo di allontanare un tratto infinitesimo i due dischi la fune si "allunga" (non lo fa perché è inestensibile... Ma alla fine l'aumento di tensione è semplicemente una deformazione seppur piccola delle fibre che la compongono) e la tensione aumenta! Immaginiamo una fune un po' più penzolante, se il coefficiente di attrito è sufficientemente elevato il sistema mantiene la sua bella rigidità di rotazione.
Ora una buona modellizzazione del problema si ha quando dimentichiamo le variazioni di tensioni strane sui dischi e consideriamo solo le due tensioni e agli estremi dei punti di contatto (occhio che nel tuo disegno non so perchè hai disegnato la tensione in un modo e poi in un altro ). Ha questo punto abbiamo un sistema a tre incognite (, , ) e due equazioni (date dalle varie cose che hai impostato anche tu prima). Noi però sappiamo che i valori esatti delle tensioni sono date dalla disposizione nello spazio dei due dischi, quindi chissenefrega!
Lavoriamo con l'incognita e il tutto diventa risolvibile e puoi trovare il valore di .

Infine per la questione di esprimere il momento come la variazione del momento angolare, il trucco sta in qualche giochino geometrico! Disegna la forza che genera il perno del disco su cui non agisce il momento torcente, ricava quanto vale la componente che ti interessa e calcola il momento che genera sul sistema, vedrai che tutti i conti tornano

Spero di aver parlato in maniera comprensibile! Se non ti è chiaro dimmi pure

[moonmadness]

(occhio che nel tuo disegno non so perchè hai disegnato la tensione in un modo e poi in un altro ).

Questa cosa non ho capito.
Innanzitutto voglio chiarire che le forze che nel disegno ho indicato con T sono le forze applicate dal filo al disco nei punti di contatto, che (a coppie) causano un momento torcente orario nel disco piccolo e antiorario nel disco grande.
Poi direi che bisogna stare attenti a parlare di verso della forza di tensione, perchè dipende dal tratto di filo che uno ha in mente (ad esempio considerando una massa appesa a un filo attaccato al soffitto, io potrei chiamare tensione del filo sia la forza esercitata dal filo sul corpo, sia la forza di uguale intensità e verso opposto che la massa esercita sul filo).
Io ho ragionato così: prima ho considerato il disco piccolo perchè è in quello che agisce il momento. Se il filo non slitta, deve esistere una forza (di attrito) che agisce sulla parte di filo a contatto con il disco, perpendicolare alla circonferenza in ogni punto e verso tale da far muovere il filo assieme al disco. In particolare questa forza è presente nei punti di stacco del filo: nel punto in basso è diretta verso "destra" (ovviamente non è orizzontale ma ci siamo capiti) e nel punto in alto verso sinistra. Ora immagino di tagliare il filo nel punto di contatto in basso: per continuare a far muovere verso destra la parte di sinistra bisogna che la parte di destra le applichi una forza verso destra (è la tensione del filo in quel punto), e per il 3° principio la parte di destra subisce una forza verso sinistra (la forza che viene trasmessa al disco e crea un momento orario su di esso). Stesso discorso per il punto di contatto in alto: anche lì mi risulta una forza che fa momento orario sul disco, dunque il momento complessivo è dato dalla somma dei due; ma tu mi parli di differenza delle tensioni, quindi suppongo che pensi una delle due forze in verso opposto a come penso io... Dimmi dove sbaglio

[Simone256]

La tensione effettivamente è una cosa un po' strana che in questo momento stai fraintendendo.
Pensa alla macchina di Atwood, le tue tensioni (uguali in modulo) sono dirette entrambe verso il basso e quindi in ottica rotazionale una in verso orario e una in verso antiorario. La tensione che abitualmente si traccia nei disegni è la forza che una fune esercita sul corpo al quale è attaccata. Quindi entrambe le tensioni spingono un disco verso l'altro disco, e quindi come nella macchina di Atwood una spinge in senso orario e una in senso antiorario. Poichè la fune non ha massa nei tratti superiore e inferiore di fune libera la tensione si propaga senza modificazioni, quindi avremo come massimo due valori distinti della tensione (tralasciando la variazione continua di questa nei punti di contatto con i dischi... Ma poco importa...).
Come prima se non è chiaro dimmi tutto

[moonmadness]

Ok ora credo di aver capito! Disegnare la tensione sopra in quel verso è un assurdo perchè non è un corpo rigido, se la spingi non produce forza (non potrei nemmeno chiamarla tensione). Invece la fune è tirata per il tratto circolare dalla forza normale, quindi deve essere tesa sia sopra che sotto. Sotto ha una tensione maggiore perchè agisce anche una forza d'attrito che tira in senso antiorario nel disco grande e orario in quello piccolo.
Poi considero la differenza di tensione eccetera e entrambi i metodi mi danno lo stesso risultato ringrazio moltissimo andrea e simone!
P.S.: un'ultima cosetta poi non vi scoccio più: è possibile visualizzare le forze di attrito e la forza normale che agiscono sui tratti infinitesimi di filo come un'unica forza finita applicata in qualche punto preciso? Mi verrebbe da dire di no, ma per esempio ciò si può fare con la forza peso applicata a un corpo rigido (se ne considera la somma e la si applica al centro di massa)