Dinamica dei sistemi

[moonmadness]

Salve a tutti,
considero il seguente sistema meccanico: due dischi collegati tra loro da una cinghia inestensibile di massa trascurabile che non slitta a contatto con i dischi; il disco di raggio minore (il 2 in figura) è animato da un momento torcente .

Voglio trovare il moto del sistema, che ha un solo grado di libertà; la cinghia non slitta, quindi l'accelerazione lineare è la stessa sul bordo dei due dischi.
Analizzando separatamente i due dischi ottengo:

Ho due incognite, e . Risolvendo per trovo:


Ora vorrei ottenere lo stesso risultato considerando il sistema disco1+disco2+cinghia e utilizzando la seconda equazione cardinale:

con la quale ottengo:

Cioè un risultato diverso da prima. Credo che il problema sia che il momento totale dovuto alle tensioni (forze interne al sistema) in questo caso non è nullo... ma la domanda è: perchè non posso applicare la seconda equazione cardinale? non dovrebbe avere validità generale?

[andrea96]

innanzi tutto mi pare che tu abbia sbagliato a risolvere il sistema ma è sicuramente un errore di calcolo.
La questione importante è questa:innanzi tutto sbagli a considerare che la forza che la ginghia applica sui rulli è la tensione; in realtà è la forza d'attrito tra rullo e cinghia dovuta al fatto che agli estremi di ogni pezzettino di cinghia le due tensioni hanno una componente normale (poichè i rulli sono curvi) che genera attrito; poi sbagli a considerare la tensione costante; infatti la cinghia è priva di massa e dunque su ogni "pezzetino" di cinghia dovrebbe esserci una risultante nulla. Ma il fatto che la cinghia applichi una forza su un rullo per il terzo principio implica che il rullo applica una forza su ogni pezzettino di cinghia . Ciò implica che sul pezzettino di corda agiscono tre forze: tensione da una parte tensione dall'altra e attrito, la somma di queste forze è nulla quindi puoi ben capire che le due tensioni non possono essere uguali ( conoscendo la posizione reciproca dei rulli su puo anche trovare in modo semplice l'equilibrio delle forze su ogni pezzettino di cinghia, e integrando la realazione si ottiene la differenza tra le tensioni in entrata e in uscita su un rullo ). Tra l'altro qui dalla ciclicità del sistema è evidente che la differenza di tensione generata dall'attraversamento di un rullo è uguale e opposta a quella generata dall'attraversamento dell'altro.

[moonmadness]

Innanzitutto grazie infinite per la risposta!

innanzi tutto mi pare che tu abbia sbagliato a risolvere il sistema ma è sicuramente un errore di calcolo.

Hai ragione... sul foglio avevo fatto i conti chiamando 1 il disco che ora ho chiamato 2 e viceversa così vanno scambiati tutti i pedici...

La questione importante è questa:innanzi tutto sbagli a considerare che la forza che la ginghia applica sui rulli è la tensione; in realtà è la forza d'attrito tra rullo e cinghia dovuta al fatto che agli estremi di ogni pezzettino di cinghia le due tensioni hanno una componente normale (poichè i rulli sono curvi) che genera attrito;

Si, in effetti è la forza d'attrito statico ad agire sulla cinghia... però in problemi come questi (es.: macchina di atwood con puleggia di massa non trascurabile) mi pare di aver capito che i libri di fisica "spezzano" il filo in 3 parti: una considerata un tutt'uno con il disco, e le altre due che tirano il disco con forze pari alle tensioni di fili. Il problema è che questa forza d'attrito è applicata su tutto il tratto circolare in cui la cinghia è a contatto con il disco, non saprei bene come fare per calcolare il momento che genera...

poi sbagli a considerare la tensione costante; infatti la cinghia è priva di massa e dunque su ogni "pezzetino" di cinghia dovrebbe esserci una risultante nulla. Ma il fatto che la cinghia applichi una forza su un rullo per il terzo principio implica che il rullo applica una forza su ogni pezzettino di cinghia . Ciò implica che sul pezzettino di corda agiscono tre forze: tensione da una parte tensione dall'altra e attrito, la somma di queste forze è nulla quindi puoi ben capire che le due tensioni non possono essere uguali ( conoscendo la posizione reciproca dei rulli su puo anche trovare in modo semplice l'equilibrio delle forze su ogni pezzettino di cinghia, e integrando la realazione si ottiene la differenza tra le tensioni in entrata e in uscita su un rullo ). Tra l'altro qui dalla ciclicità del sistema è evidente che la differenza di tensione generata dall'attraversamento di un rullo è uguale e opposta a quella generata dall'attraversamento dell'altro.

Sai, avevo pensato al fatto che la tensione potesse non essere uguale dappertutto... il problema è che non sono molto familiare col dividere il filo in tratti infinitesimi e poi integrare, quindi pensavo fosse una complicazione eccessiva: ora ci provo comunque.

Ma invece l'accelerazione trovata con la seconda equazione cardinale è corretta? In quel caso non ci sarebbe neanche bisogno di considerare tensioni e forze di attrito dato che sono forze interne al sistema... o c'è un errore concettuale anche li?

[andrea96]

con le macchine di atwood in realtà il discorso è abbastanza diverso perchè l'attenzione si sposta sulle masse attaccate alla corda e la puleggia diventa solo un mezzo per fare in modo che la corda possa tornare indietro MANTENENDO LA STESSA TENSIONE, quindi l'attrito tra corda e puleggia è trascurabile.
Per la questione del calcolo dell'attrito dividendo la corda in pezzi infinitesimi, appena ho giorno con un po più di tempo ti scrivo un esempio per messaggio privato che dovrebbe chiarirti le idee.
Il secondo risultato invece mi sembra corretto.

[moonmadness]

con le macchine di atwood in realtà il discorso è abbastanza diverso perchè l'attenzione si sposta sulle masse attaccate alla corda e la puleggia diventa solo un mezzo per fare in modo che la corda possa tornare indietro MANTENENDO LA STESSA TENSIONE, quindi l'attrito tra corda e puleggia è trascurabile.

Intendevo la macchina di atwood con carrucola reale, ossia in cui la carrucola è schematizzata come un disco che può ruotare (quindi con un momento di inerzia non nullo). In quel caso sono sicuro che le tensioni che agiscono sulle masse sono diverse, ho visto anche un documento su internet che dimostra che la tensione della corda sulla puleggia varia a seconda dell'angolo con una sorta di relazione esponenziale.

[andrea96]

Si esatto! Vedi che nei casi in cui il coso che gira è reale hai bisogno di considerare tensioni diverse.
Comunque prima che ti scrivo la spiegazione di come si fa il fatto delle differenza di tensione puoi provare da solo: considera un disco su cui una corda è in contatto per un determinato angolo, considera un angolo infinitesimo e quindi considera il tratto di corda che esso sottende; scomponi le tensioni agli estremi in direzione normale e longitudinale e poi equilibra le forze lungo entrambe le direzioni!

[andrea96]

Allora mi sono fatto un paio di conti e sono venute fuori cose interessanti:
a) innanzi tutto i due coefficienti di attrito devono essere diversi e sono legati da una relazione ben precisa che però non ho voglia di cercare ( dipende anche dalla reciproca distanza dei centri )
b) nel passaggio intorno a una ruota la tensione in uscita è legata alla tensione in entrata dalla relazione dove è l'angolo che sottende l'arco in cui la corda è a contatto con la ruota.
c) effettivamente considerando che il momento che la corda fa sulle ruote è generato dall'attrito viene fuori che questo momento è equivalente a quello fatto dalle tensioni agli estremi ( che però sono diverse )

[moonmadness]

b) nel passaggio intorno a una ruota la tensione in uscita è legata alla tensione in entrata dalla relazione dove è l'angolo che sottende l'arco in cui la corda è a contatto con la ruota.

Per trovare quella relazione però hai dovuto supporre che la forza d'attrito statico che non fa slittare la cinghia ha il suo valore massimo, giusto? Come fai a essere sicuro che ciò accade sempre?

[andrea96]

no in realtà mi riferivo al discorso di ieri sulle macchine di atwood reali in cui tu dicevi che si considerano solo i momenti delle tensioni in entrata e in uscita, quindi ho fatto i conti per dimostrare che effettivamente il momento generato dall'attrito è equivalente a quello generato dalle sole tensioni in entrata e in uscita.
Il caso delle due ruote con la cinghia è diverso e l'attrito non è necessariamente massimo.
P.S. analizzando bene il problema delle ruote con la cinghia mi sono sorti seri dubbi sul risultato che hai trovato tu: come giustifichi che ? perchè non consideri le forze esercitate sui centri delle ruote per tenerle ferme?

[moonmadness]

Caspita è vero, prendendo come polo per il calcolo dei momenti il centro del disco 2, sul centro del disco 1 deve agire una forza per bilanciare la somma delle tensioni in entrata e in uscita, che dà un momento non nullo... a questo punto direi che non si può dire nulla considerando il sistema come unico, ma bisogna per forza considerare i due dischi con le loro tensioni. Io ho provato a fare l'equilibrio per un tratto infinitesimo, ma ho tre funzioni incognite (tensione, forza d'attrito e forza normale in funzione dell'angolo) e soltanto due relazioni (legge di newton proiettata lungo le direzioni radiale e tangenziale), quindi il problema sembra indeterminato...