23:bobine concentriche

andrea96 · Messaggio da **andrea96** » 14 nov 2014, 20:13

due bobine concentriche di raggi $r_1$ e $r_2$ ( $r_1<r_2$ ) hanno stessa lunghezza (molto maggiore dei raggi ) e stessa induttanza di valore $L$ ; hanno inoltre stessa resistenza $R$ ( una bobina con resistenza si può schematizzare con i due elementi messi in serie ). Ciascuna bobina va immaginata come un circuito chiuso, cioè la sua estremità in alto è collegata a quella in basso con un filo privo di resistenza in modo che possa scorrere corrente, ma ogni bobina è un circuito a sè, cioè le due bobine non sono in alcun modo collegate da conduttori. All'istante $t=0$ viene inserita nella bobina interna ( $1$ ) un generatore di forza elettromotrice costante $\epsilon$ .
1) trovare la massima intensità di corrente nella bobina esterna (2) e il valore "di regime" di tale corrente.
2)nel caso $r_2=2r_1$ confrontare l'andamento temporale $i_1(t)$ della corrente nella bobina interna con l'andamento $i'_1(t)$ della corrente nella stessa bobina nel caso in cui viene completamente eliminato il circuito della bobina esterna. Il confronto va fatto da un punto di vista qualitativo e se si riesce da un punto di vista quantitativo ma solo approssimato ( cioè con l'analisi numerica ).

phyknight · Messaggio da **phyknight** » 15 nov 2014, 19:33

un problema con conti enormi...
se non ho sbagliato nulla la massima intensità dovrebbe essere $\dfrac{\varepsilon}{2R}\left(\left(\dfrac{L+M}{L-M}\right)^{-\frac{L+M}{2M}}-\left(\dfrac{L+M}{L-M}\right)^{-\frac{L-M}{2M}}\right)$ con $M=\mu_0\dfrac{N_1N_2}{l}\pi r_1^2=\dfrac{r_1}{r_2}L$
Se è giusta domani scrivo il procedimento (i conti sono indecenti)

edit: volendo l'intensità si può scrivere in un modo più bello, ma ho usato M per far capire un po' come ci sono arrivato

andrea96 · Messaggio da **andrea96** » 15 nov 2014, 19:37

bravo è giusto!

phyknight ha scritto: (i conti sono indecenti)

mah... non so come l'hai fatto perchè io usando qualche "trucchetto" ho fatto poco più di una pagina...
Ti assicuro che venivano MOLTIIIII più conti nel problema prima di questo

phyknight · Messaggio da **phyknight** » 15 nov 2014, 19:45

ho risolto il sistema di due equazioni differenziali che veniva per le due bobine(i due circuiti), solo che l'ho risolto in $i_1+i_2$ (altrimenti non lo sapevo risolvere

), ho trovato $i_1+i_2$ e ho riutilizzato un'equazione del sistema per trovare $i_2$ , poi derivata per il massimo e fine
Tu come lo hai fatto?
Che intendi per confrontare le due correnti al punto 2?

phyknight · Messaggio da **phyknight** » 15 nov 2014, 19:49

Ti assicuro che venivano MOLTIIIII più conti nel problema prima di questo

si, effettivamente anche a me sono venuti più conti per quel problema, solo che qui ho risolto due equazioni differenziali in cui ho perso più volte qualche termine in giro

e le ho dovute risolvere di nuovo

andrea96 · Messaggio da **andrea96** » 15 nov 2014, 20:05

phyknight ha scritto:
Ti assicuro che venivano MOLTIIIII più conti nel problema prima di questo
si, effettivamente anche a me sono venuti più conti per quel problema, solo che qui ho risolto due equazioni differenziali in cui ho perso più volte qualche termine in giro e le ho dovute risolvere di nuovo

Ah ma forse io ho fatto meno conti perchè conoscevo gia la forma della soluzione delle equazioni che vengono

Poi penso che anche tu per risolvere il sistema abbia usato somma e differenza delle due equazioni giusto?

phyknight · Messaggio da **phyknight** » 15 nov 2014, 20:55

andrea96 ha scritto:Poi penso che anche tu per risolvere il sistema abbia usato somma e differenza delle due equazioni giusto?

si

andrea96 ha scritto:conoscevo gia la forma della soluzione

già, mi sa che è meglio che le impari bene anche io definitivamente

phyknight · Messaggio da **phyknight** » 16 nov 2014, 17:22

ecco la soluzione completa
Poiché le induttanze sono uguali, usando la formula dell'induttanza per un solenoide $L=\dfrac{\mu_0N^2r^2\pi}{l}$ trovo che $N_1r_1=N_2r_2$ con $N$ numero di avvolgimenti
Chiamo $M$ il coefficiente di mutua induzione
$M=\dfrac{\Phi_{1,2}}{i_1}=\dfrac{\mu_0N_1N_2\pi r_1^2i_1}{i_1}=\mu_0N_1N_2\pi r_1^2=\dfrac{r_1}{r_2}L$ che è minore di $L$ (questo serve varie volte per la positività un po' ovunque di $L-M$ )
scrivo le equazioni dei due circuiti (che in fondo sono la conservazione dell'energia)
$\begin{cases} \varepsilon-L\dfrac{di_1}{dt}-M\dfrac{di_2}{dt}-Ri_1=0\\ -L\dfrac{di_2}{dt}-M\dfrac{di_1}{dt}-Ri_2=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}\varepsilon-L\dfrac{d(i_1+i_2)}{dt}-M\dfrac{d(i_1+i_2)}{dt}-R(i_1+i_2)=0\\ \varepsilon-L\dfrac{d(i_1-i_2)}{dt}+M\dfrac{d(i_1-i_2)}{dt}-R(i_1-i_2)=0 \end{cases}$
queste due in $i_1+i_2$ e $i_1-i_2$ sono a coefficienti costanti e quindi sono le più facili da risolvere
$\begin{cases} i_1+i_2=\dfrac{\varepsilon}{R}\left(1-e^{-\frac{Rt}{L+M}}\right)\\ i_1-i_2=\dfrac{\varepsilon}{R}\left(1-e^{-\frac{Rt}{L-M}}\right) \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}i_1=\dfrac{\varepsilon}{2R}\left(2-e^{-\frac{Rt}{L+M}}-e^{-\frac{Rt}{L-M}}\right)\\ i_2=\dfrac{\varepsilon}{2R}\left(e^{-\frac{Rt}{L+M}}-e^{-\frac{Rt}{L-M}}\right)\end{cases}$
$i_2$ assume valore $0$ sia per $t=0$ sia in condizione di regime, quindi per trovare il massimo faccio la derivata (in realtà quello che trovo è un minimo se ho fatto bene la disequazione, ma non importa perché a me interessa il modulo dell'intensità), la pongo uguale a $0$ e trovo $t=\dfrac{(L+M)(L-M)}{2RM}ln\dfrac{L+M}{L-M}$ che sostituito in $i_2$ mi da quello che ho scritto nel messaggio sopra, che, scritto da soluzione, dovrebbe essere
$i_{2,max}=\dfrac{\varepsilon}{2R}\left(\left(\dfrac{r_2+r_1}{r_2-r_1}\right)^{-\frac{r_2+r_1}{2r_1}}-\left(\dfrac{r_2+r_1}{r_2-r_1}\right)^{-\frac{r_2-r_1}{2r_1}}\right)$

Posto $r_2=2r_1$ trovo che $M=\frac{L}{2}$ e quindi $i_1=\dfrac{\varepsilon}{2R}\left(2-e^{-\frac{2Rt}{3L}}-e^{-\frac{2Rt}{L}}\right)$
Se invece si elimina il circuito 2 allora la corrente in 1 è semplicemente $i_1'=\dfrac{\varepsilon}{R}\left(1-e^{-\frac{Rt}{L}}\right)$
Riscrivo la $i_1$ come $i_1=\dfrac{\varepsilon}{R}\left(1-e^{-\frac{Rt}{L}}\left(\dfrac{e^{\frac{Rt}{3L}}+e^{-\frac{Rt}{L}}}{2}\right)\right)$
Quando $\left(\dfrac{e^{\frac{Rt}{3L}}+e^{-\frac{Rt}{L}}}{2}\right)>1$ allora $i_1<i_1'$ e questo avviene per (questo l'ho fatto con wolfram, ma avendo tanto tempo si poteva fare in qualche modo anche a mano)
$t>\dfrac{3L}{R}ln\left(\dfrac{1}{3}\left(1+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}\right)\right)$

andrea96 · Messaggio da **andrea96** » 16 nov 2014, 18:09

perfetto bravo!

vai col prossimo!
giusto due note:

phyknight ha scritto: $M=\dfrac{\Phi_{1,2}}{i_1}=\dfrac{\mu_0N_1N_2\pi r_1^2i_1}{i_1}=\mu_0N_1N_2\pi r_1^2=\dfrac{r_1}{r_2}L$ che è minore di $L$ (questo serve varie volte per la positività un po' ovunque di $L-M$ )[/tex]

in generale è possibile dimostrare che per una qualsiasi coppia di circuiti di induttanze $L_1$ e $L_2$ valgono le relazioni $M_{1,2}=M_{2,1}$ (che hai implicitamente utilizzato nel problema) e $M<\sqrt{L_1 L_2}$ anche questa molto importante!

phyknight ha scritto:(in realtà quello che trovo è un minimo se ho fatto bene la disequazione, ma non importa perché a me interessa il modulo dell'intensità)

certo che è un minimo! la corrente nella bobina esterna deve necessariamente essere sempre in verso opposto a quelle nella corrente interna! infatti l'unica forza elettromotrice nella bobina esterna è quella indotta, che per "rallentare gli effetti" nella bobina interna deve essere opposta alla corrente nella medesima bobina e quindi si avranno nelle due bobine correnti opposte!
nell'analisi numerica sei stato anche troppo preciso

Messaggio da **Pigkappa** » 16 nov 2014, 19:01

Perbacco, la staffetta sta andando avanti sul serio! Bravi!

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