12: la staffetta continua!

phyknight · Messaggio da **phyknight** » 21 set 2014, 13:45

Questa soluzione nasce per essere soluzione dei punti 1 e 3 ed è stata adattata per il punto 2...quindi la soluzione del punto 2 fa un po' schifo...ma non importa

Sia $p(t)$ la quantità di moto del razzo all'istante $t$ , $v(t)$ la velocità, $a(x)$ l'accelerazione, $x(t)$ l'altezza dal suolo, $m(t)$ la massa e $\lambda(t)$ la massa per unità di tempo che il razzo perde (cioè $\lambda(t)=-\dot m(t)$ ).
Sul razzo agisce solo la forza di gravità verso il basso, quindi
$p(t+dt)-p(t)=-m(t)gdt$
Ora, $p(t)=m(t)v(t)$ e $p(t+dt)=[m(t)-\lambda (t)dt]v(t+dt)+\lambda (t)dt[v(t)-u]=[m(t)-\lambda (t)dt][v(t)+\dot v(t)dt]+\lambda (t)dt[v(t)-u]$
La relazione di prima è quindi
$[m(t)-\lambda (t)dt][v(t)+\dot v(t)dt]+\lambda (t)dt[v(t)-u]-m(t)v(t)=-m(t)gdt$
Facendo i prodotti e trascurando il termine di secondo ordine che esce, si arriva a
$m(t)\dot v(t)dt=\lambda(t)udt-m(t)gdt$ e quindi $a(t)=\dot v(t)=\dfrac{u\lambda (t)}{m(t)}-g$
A questo punto uno dovrebbe lasciare $a(t)$ in funzione di $\dfrac{m}{m_0}$ oppure del mio $\lambda$ , ma secondo me è meglio sostituire direttamente la relazione $m(t)=m_0(1-\alpha t)$ così si capisce subito che forma hanno i grafici delle tre funzioni.
Quindi $\lambda(t)=-\dot m(t)=m_0\alpha$ e $a(t)=\dfrac{u\alpha m_0}{m_0(1-\alpha t)}-g$
Allora $a(t)=\dfrac{u\alpha}{1-\alpha t}-g$
Integrando questa, poiché il razzo parte da fermo e da terra, $v(t)=-u \ ln(1-\alpha t)-gt$
Integrando di nuovo $x(t)=-u\left[\left(t-\dfrac{1}{\alpha}\right)ln(a-\alpha t)-t\right]-\dfrac{1}{2}gt^2$
L'ultima integrazione è un po' più brutta delle altre, ma non c'è nulla di difficile (si integra per parti e viene subito)
Il fatto che il razzo perde $\dfrac{1}{250}$ della sua massa al secondo significa banalmente che $\alpha=\dfrac{1}{250}$
inoltre sappiamo che $u=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}}$ con $M$ la massa molare delle molecole di idrogeno e quindi a STP $u\approx 1838 \ m/s$
La velocità di fuga l'ho trovata ponendo in pratica l'energia totale del razzo uguale a zero, quindi $\dfrac{1}{2}v(t)^2=\dfrac{GM_T}{r_T+x(t)}$ con $M_T, r_T$ massa e raggio terrestre.
Per risolvere questa avevo provato a scrivere l'espansione in serie del logaritmo...ma l'approssimazione che veniva fuori era troppo grande e avrei dovuto aggiungere termini di ordine superiore (e quindi il calcolo sarebbe diventato impossibile da fare a mano)
La soluzione che ho trovato è quindi non calcolarla a mano, ma l'ho data in pasto a wolfram alpha che mi ha restituito il valore del tempo corrispondente a quando il razzo raggiunge la velocità di fuga

Dopo aver sbagliato 3 volte a inserire lo stesso dato in wolfram, ho trovato $t\approx 249.84 \ s$ e qundi
$\dfrac{m}{m_0}=1-\alpha t=0.00064$ (e quindi $\dfrac{m_0}{m}\approx 1562$ se interessa)
Per il punto 3 ho sostituito il valore di $t$ nella formula per $x(t)$ e ho trovato $x(fuga)\approx 170761 \ m$

valore alternativo: OrsoBruno96 ha scritto che le molecole sono a STP, ma molto probabilmente intendeva a SATP, cioè a temperatura ambiente, e in questo caso dovrebbe venire $u\approx 1921 \ m/s$ , $t\approx 249.78 \ s$ (mooolto diverso da quello precedente

) e $\dfrac{m}{m_0}=0.00088$

qualche(una) considerazione: forse ho sbagliato qualcosa (non i conti, quelli li ho controllati fin troppe volte

)...se invece non ho sbagliato, il rapporto tra le masse sembra essere davvero molto piccolo, perché il tempo a cui viene raggiunta la velocità di fuga è molto vicino al valore limite di 250...non che mi aspettassi cose tanto diverse visti i grafici di $x,v,a$ ma se fosse stato anche di un ordine di grandezza superiore sarei stato più tranquillo della correttezza della soluzione...

phyknight · Messaggio da **phyknight** » 21 set 2014, 14:32

forse c'è qualche problema...nella soluzione ho considerato $g$ costante mentre all'altezza della velocità di fuga $g\approx 9.31$ ...

andrea96 · Messaggio da **andrea96** » 21 set 2014, 15:15

phyknight ha scritto:forse c'è qualche problema...nella soluzione ho considerato $g$ costante mentre all'altezza della velocità di fuga $g\approx 9.31$ ...

g costante era un ipotesi del problema e se leggi qualche post primo orsobruno aveva aggiunto il punto 3 proprio per questo.
ammetto di non aver letto tutta la soluzione perchè ci sono troppi conti e magari me la vedo un altra volta, però c'è un punto che mi è balzato all'occhio:

Sul razzo agisce solo la forza di gravità verso il basso, quindi
p(t+dt)-p(t)=-m(t)gdt

non sono troppo convinto di questo:
la forza di gravità è l'unica forza agente se consideri il sistema razzo-carburante, ma se consideri solo il razzo ( e mi sembra di aver capito che è quello che fai perchè $p(t)$ hai scritto che è la quantità di moto del razzo ) c'è anche una forza tra il razzo e il carburante, che se $p(t)$ fosse la quantità di moto del sistema razzo-carburante giustamente non consideri per il terzo principio della dinamica, ma nel tuo caso andrebbe considerata: secondo quello che hai scritto infatti se fossimo in assenza di gravità, il razzo dovrebbe rimanere fermo, cosa che non succede invece! se infatti il razzo espelle un quantità infinitesima di carburante che avrà quantità di moto $dp=udm$ il razzo SENZA QUELLA PARTE DI CARBURANTE per la conservazione della quantità di moto deve acquistare quantità di moto $dp$ nel senso inverso...

phyknight · Messaggio da **phyknight** » 21 set 2014, 17:12

Ok, scusa, ho scritto un po' male...con $p$ intendo la quantità di moto del sistema razzo-carburante
Infatti $p(t+dt)=roba +\lambda (t)dt[v(t)-u]$ e questo termine è la quantità di moto del carburante emesso
Per dirlo ancora meglio, $p(t)$ è la quantità di moto del razzo all'istante $t$ senza considerare tutto il carburante che ha emesso prima, e $p(t+dt)$ è la quantità di moto del razzo dopo che ha emesso $dm$ di carburante $+$ la quantità di moto di quel $dm$ di carburante.
Il casino è nato dal fatto che nel problema non c'è effettivamente una distinzione tra razzo e carburante, e quindi ho scritto sempre "razzo"

Messaggio da **OrsoBruno96** » 21 set 2014, 18:41

La risoluzione è corretta. Sei stato anche troppo preciso, per la velocità di fuga mi accontentavo di un banale $\sqrt{\dfrac{2GM}{r_T}}$ , senza andare a vedere effettivamente di quanto cambia salendo

Il rapporto $\dfrac {m}{m_0}$ è effettivamente minuscolo (http://it.wikipedia.org/wiki/Moto_dei_c ... _variabile). Credo che in qualche modo si riesca ad ottimizzare il consumo di carburante facendo seguire una traiettoria precisa al razzo e modificando il dm/dt in maniera opportuna, cosa che qui è stata semplificata per evitare di fare un problema di ingegneria aerospaziale

Avanti con il prossimo problema!

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