Catenina che penzola!

[Simone256]

Facciamo pendere dall'alto una catenina di massa M e di lunghezza L molto flessibile... Poniamo sotto una mano in modo tale che la parte bassa della catena sfiora la nostra mano. Lasciamo improvvisamente cadere la catenina:
Trovare la forza che dobbiamo esercitare verso l'alto con la mano in funzione del tempo durante la caduta della catenina.

[Andg94]

Definiamo la densità lineare della catenina come . La massa che poggia sulla nostra mano e non è più in caduta libera è esprimile come dove esprime la lunghezza di corda che stiamo sostenendo e che quindi, come già detto, non è più in caduta. La legge del moto di una massa a distanza dalla mano è la seguente: . Quindi, semplicemente sostituendo, direi che:

[Simone256]

Mmm... Forse non bisogna tenere anche conto che la mano rallenta fino a fermare la catena in caduta? Lei ha una velocità e quindi una quantità di moto che va annullata con un impulso contrario... Poi queste sono supposizioni ed è come ho interpretato il problema... Anzi... Se è sbagliato sarei ben lieto se mi spiegassi perchè
Grazie per la risposta.

[Gabry]

Mmm... Forse non bisogna tenere anche conto che la mano rallenta fino a fermare la catena in caduta? Lei ha una velocità e quindi una quantità di moto che va annullata con un impulso contrario... Poi queste sono supposizioni ed è come ho interpretato il problema... Anzi... Se è sbagliato sarei ben lieto se mi spiegassi perchè
Grazie per la risposta.

Si bisogna tenere conto anche della variazione della qdm. In formule . La variazione infinitesima della quantità di moto vale con e .
Dunque sostituendo .
Per il peso della catenina sono giuste le affermazioni di Andg94 e la forza totale vale

[gilgamesh]

Si bisogna tenere conto anche della variazione della qdm.

Concordo pienamente con Gabry. Se si considera infatti solo la forza dovuta al peso della catenella che cade sulla mano , allora la situazione cambia...quella proposta da Andg94 sarebbe infatti soluzione del problema : Una catenella omogenea di massa m è appesa e si pone la mano sotto di essa (come nel problema precedente), successivamente si solleva la mano con accelerazione costante g raccogliendo la catenella ; quale sarà in funzione del tempo , la forza che la mano dovrà esercitare sulla catenella per sorreggerla? O qualcosa del genere
In tal modo infatti non si avrebbero forze impulsive apprezzabili ,in quanto la variazione della q.tà di moto della mano (se la massa della catenella è contenuta) risulta ampiamente trascurabile.

[Andg94]

Avete ragione, non avevo tenuto conto delle forze impulsive ... Comunque concordo con il procedimento di Gabry, ma volevo chiedervi una cosa: io i conti li avevo sviluppati un attimo diversamente e avevo calcolato che, dato , e integrando mi ricavo che la forza impulsiva è (poi da sommarsi all'altra forza, ovviamente). È errato considerare al posto di nell'equazione? Qualcuno mi può spiegare il perché?

[Simone256]

e la forza totale vale

Ok bene è uguale al mio

...quella proposta da Andg94 sarebbe infatti soluzione del problema : Una catenella omogenea di massa m è appesa e si pone la mano sotto di essa (come nel problema precedente), successivamente si solleva la mano con accelerazione costante g raccogliendo la catenella ; quale sarà in funzione del tempo , la forza che la mano dovrà esercitare sulla catenella per sorreggerla? O qualcosa del genere
In tal modo infatti non si avrebbero forze impulsive apprezzabili ,in quanto la variazione della q.tà di moto della mano (se la massa della catenella è contenuta) risulta ampiamente trascurabile.

Mmm... Puoi spiegarmi meglio? Se utilizziamo il sistema di riferimento della mano il problema non risulta identico?

la forza impulsiva è (poi da sommarsi all'altra forza, ovviamente). È errato considerare al posto di nell'equazione? Qualcuno mi può spiegare il perché?

Lì se non ricordo male c'è un di troppo... Scusami ma non sono la persona ideale per chiarire i tuoi dubbi sull'analisi... Anzi, ne approfitto anch'io per imparare dalla risposta che riceverai

[Cesare]

Avete ragione, non avevo tenuto conto delle forze impulsive ... Comunque concordo con il procedimento di Gabry, ma volevo chiedervi una cosa: io i conti li avevo sviluppati un attimo diversamente e avevo calcolato che, dato , e integrando mi ricavo che la forza impulsiva è (poi da sommarsi all'altra forza, ovviamente). È errato considerare al posto di nell'equazione? Qualcuno mi può spiegare il perché?

la forza impulsiva si calcola con . Ora, se sai fare le derivate, sai che, analogamente alla regola del prodotto, vale che . Ora, la con cui i impattano sulla mano è costante, e quindi , come hai giustamente notato anche te. Quindi

[gilgamesh]

Mmm... Puoi spiegarmi meglio? Se utilizziamo il sistema di riferimento della mano il problema non risulta identico?

Si hai ragione , cercavo una situazione fisica in cui fosse sufficiente la prima relazione trovata. Ma mi sono sbagliato, non tenerne conto

[gilgamesh]

la con cui i impattano sulla mano è costante, e quindi ...

Se posso muovere un obiezione su un punto , per migliorare la chiarezza della soluzione: per quale motivo affermi che è nullo in quanto v è una quantità costante?

Infatti prendiamo un punto materiale di massa della catenella (isoliamolo dal resto) : questo si "schianta" sulla mano dopo una caduta da una certa altezza h (dove possiede velocità iniziale ), cadendo dalla quale ha assunto una velocità . La variazione della quantità di moto durante l'urto coinvolge (e come!) la velocità. Si può dire infatti che . Ora si può "ricostruire" la catena come un insieme di questi punti materiali che cadono da altezze diverse...
La forza impulsiva considerata insomma fa variare significativamente la velocità della catenella durante l'urto, quindi come mai ?