sns 2012 n.6

[Gabry]

Ci sono errori?

Credo di si. Il campo elettrico è un vettore quindi bisogna fare quattro casi:
x<-d (da qui in poi solo nei calcoli considero con x il valore assoluto della distanza dall'origine)

Abbiamo allora:
e da cui le proiezioni lungo l'asse x e e il campo elettrico risultante sarà

per -d<x<0
avremo e e le proiezioni lungo l'asse x e e il campo elettrico risultante

Gli altri due casi non ho il tempo di scriverli ma tanto per simmetria si scambiano semplicemente i valori di e rispetto ai casi precedenti (ma non i segni della carica!) e il campo totale si inverte di segno sempre rispetto ai casi precedenti. Per il potenziale secondo me è conveniente calcolare singolarmente i potenziali dei quattro fili (può risultare più facile prendere solo l'espressione del campo orizzontale di ognuno, tanto quello verticale si annulla, perchè mi sembra più semplice da integrare) e poi fare la somma algebrica (prestando attenzione ai segni).

[t4ilgr4b]

In realtà il mio calcolo per il campo elettrico è esattamente uguale a quello di modesto.
Gabri non capisco perchè devi distinguere i casi, il verso del vettore è dato dal coseno dell'angolo, quindi il segno da tenere nella somma per il campo totale è sempre più. Inoltre i campi che tu hai calcolato sono identici, e lo sono anche quelli per x>d.

[Gabry]

Gabri non capisco perchè devi distinguere i casi, il verso del vettore è dato dal coseno dell'angolo, quindi il segno da tenere nella somma per il campo totale è sempre più.

Hai ragione, avevo separato i casi per evitare di mettere lati negativi nel triangolo rettangolo da cui ho ricavato il coseno, ma non ce n'era bisogno.
Comunque ho calcolato il potenziale e mi è venuto uguale a quello di modesto.

[t4ilgr4b]

Cmq io non capisco bene ancora cosa significhi uniforme... So che modesto ha già data la sua opinione ma il fatto è che negli x<0 è sempre possibile un moto oscillatorio, ma impossibile uno uniforme (la seconda affermazione non l'ho dimostrata, lo dico ad occhio visto che la curva non è simmetrica rispetto a x=)... Quindi che restrizioni da a un generale moto periodoco la parola "uniforme"?

[Gabry]

I moti armonici per come è disposto il sistema non possono sussistere quindi entrando nel problema posso dire che uniforme non si riferiva ad armonico (come invece pensavo avendo semplicemente letto il testo).
I moti periodici non sempre si verificano per x<0, prendendo una particella carica posta nella regione tra i 4 fili cioè per -d<x<d allora si avrà sicuramente un moto periodico. Se invece si trova in una posizione in cui il campo è diretto verso l'origine (x<-d per una carica positiva e x >d per una negativa) allora potrebbe dare luogo a moto periodico ma bisogna controllare tramite considerazioni energetiche che la particella non superi tutti e 4 i fili (cioè che si fermi nella regione -d<x<d). La frequenza verrebbe un pò brutta da calcolare, sarebbe necessario risolvere qualche equazione differenziale e questo mi sembra strano. Per il fatto di cosa significhi uniforme potrebbe essere giusta l'interpretazione di modesto nel senso che si mantiene costante nel tempo, ma perchè sottolinearlo nel testo? Non essendoci attriti è ovvio che il moto periodico non dovrebbe alterarsi, quindi non saprei dire con certezza.

[t4ilgr4b]

I moti periodici non sempre si verificano per x<0 [...] per -d<x<d allora si avrà sicuramente un moto periodico.

In realtà sì e l'ho dimostrato, ma comunque si vede anche dal grafico se lo fai bene, e anche dal fatto che il potenziale in zero è zero e a -infinito tende sempre a zero. Visto che la situazione trattata nel testo si riferisce a una carica senza velocità iniziale, se messa in un x<0, non ci esce dal moto periodico! E il punto di equilibrio stabile è x=, non zero, per x>0 non può esserci alcun moto periodico!

Per l'uniforme penso che abbiate ragione, anche se non capisco che bisogno ci fosse inserirlo nel testo.

[modesto]

In realtà sì e l'ho dimostrato, ma comunque si vede anche dal grafico se lo fai bene, e anche dal fatto che il potenziale in zero è zero e a -infinito tende sempre a zero. Visto che la situazione trattata nel testo si riferisce a una carica senza velocità iniziale, se messa in un x<0, non ci esce dal moto periodico! E il punto di equilibrio stabile è x=, non zero, per x>0 non può esserci alcun moto periodico!
Per l'uniforme penso che abbiate ragione, anche se non capisco che bisogno ci fosse inserirlo nel testo.

Condivido quanto dici. In conclusione V è positivo per x>0, è nullo per x=0, è negativo per x<0; ammette minimo negativo per (equilibrio stabile, ai suoi lati il vettore campo tende sempre a ) e massimo positivo nell'ascissa opposta (equilibrio instabile). I valori del potenziale attorno al minimo sono gli stessi ma a distanze diverse dall'ascissa di minimo perchè il grafico del potenziale non è simmetrico rispetto all'asse verticale passante per questa ascissa. Questo vuol dire che, se prendiamo compreso fra questa ascissa e 0, la carica andrà verso l'ascissa di minimo, la supererà verso e si fermerà per poi invertire la rotta ad un'ascissa che non è simmetrica di rispetto a quella di minimo. Si vede bene con la conservazione dell'energia: si fermerà nell'ascissa avente potenziale
Dunque l'ampiezza di oscillazione è generalmente diversa a destra e a sinistra dell'ascissa di minimo.
Tuttavia credo di poter dimostrare che, se si indica con lo spostamento da , uno spostamento piccolo rispetto a d, allora il campo può essere espresso come . Dunque prendendo in quest'intorno il moto diventa proprio armonico con periodo e frequenza costanti. Chiedo se qualcuno può confermare.

[Gabry]

I moti periodici non sempre si verificano per x<0 [...] per -d<x<d allora si avrà sicuramente un moto periodico.

In realtà sì e l'ho dimostrato, ma comunque si vede anche dal grafico se lo fai bene, e anche dal fatto che il potenziale in zero è zero e a -infinito tende sempre a zero. Visto che la situazione trattata nel testo si riferisce a una carica senza velocità iniziale, se messa in un x<0, non ci esce dal moto periodico!

Non capisco, consideriamo una carica positiva ferma posta in un punto con ascissa x<-d. In questo punto la forza elettrica è diretta verso destra e quindi sicuramente la carica arriverà ad un'ascissa x>-d. Quando -d<x<d la forza elettrica è diretto verso sinistra quindi se la carica non ha acquistato abbastanza energia cinetica si ferma e torna indietro compiendo un moto oscillatorio all'infinito. Se invece la carica ha acquistato abbastanza energia cinetica allora riuscirà ad arrivare nella regione x>d qui la forza che risente è diretta nuovamente verso destra quindi superata l'ascissa x=d la carica verrà spinta all'infinito, il campo elettrico non cambia più di segno quindi la carica non tornerà indietro.

E il punto di equilibrio stabile è x=, non zero, per x>0 non può esserci alcun moto periodico!

Prendiamo sempre la nostra carica positiva e mettiamola in un punto 0<x<d qui il campo elettrico è diretto verso sinistra quindi la carica arriva sicuramente nella zona x<-d. Ora nella zona x<-d la forza elettrica è diretta verso destra e se la carica non ha abbastanza energia cinetica da arrivare all'infinito questa tornerà indietro e compierà un moto periodico all'infinito.

P.s. Ho fatto i calcoli e ho visto che la carica non avrà mai energia sufficiente per superare la regione -d<x<0 e viceversa una carica posta in x>0 avrà energia sufficiente per "scappare" all'infinito quindi per una carica positiva è vero che può compiere moti periodici solo per x<0 (per una carica negativa sarà il contrario).

[t4ilgr4b]

Bhe ti sei risposto da solo attento però che i punti di minimo e massimo e dove la E(x) cambia segno sono più o meno non più o meno d!

[Gabry]

Bhe ti sei risposto da solo attento però che i punti di minimo e massimo e dove la E(x) cambia segno sono più o meno non più o meno d!

Si, dall'espressione del campo elettrico si vede anche questo. Prima avevo postato "ad occhio" (senza considerare né aver svolto la parte analitica del problema, infatti dopo aver considerato il potenziale ho visto che la carica non poteva acquistare mai l'energia cinetica necessaria ad arrivare all'infinito) e non avevo considerato il coseno dell'angolo.