sns 2012 n.3

[modesto]

Un cannoncino di dimensioni trascurabili ed ancorato al suolo lancia, ad intervalli regolari , N biglie rigide di massa m in direzione verticale con velocità costante . Durante il volo le biglie possono urtarsi tramite processi perfettamente elastici [si trascurino l'attrito dell'aria e le dimensioni delle biglie]:
1. Fissando N=3 ed assumendo che una volta ricadute al suolo le biglie siano rimosse, si studino al variare di i tempi di volo di ciascuna biglia [ovvero gli intervalli di tempo che intercorrono tra l'istante di lancio della biglia e l'istante in cui essa ricade al suolo]. Si calcoli quindi la quantità (tempo di volo totale) e se ne deduca l'andamento in funzione di per il caso in cui è generico.

2. Fissando si consideri adesso il caso in cui le biglie una volta raggiunto il suolo rimbalzino tramite un processo anelastico caratterizzato da un coefficiente di restituzione energetica compreso nell'intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra . Dire se le particelle si fermeranno in un tempo finito e, in caso affermativo, si calcolino i loro tempi di arresto.

[Andg94]

Ma quindi si intende che l'angolo con cui si lanciano le biglie possa variare o che sia fisso (condizione che altrimenti mi sembra l'unica soluzione necessaria per mettere in relazione i tempi di volo di ciascuna biglia con )?

[modesto]

Mi scuso con te e con tutti. Avevo omesso che le biglie sono lanciate "in direzione verticale". Ho provveduto subito a correggere il mio testo. Grazie.

[modesto]

Forse un suggerimento può essere quello di tracciare i tre grafici y=y(t) delle tre quote in funzione del tempo: si tratta di tre parabole identiche con la concavità verso il basso sfasate di di ciascuna delle quali si conosce tutto a partire dall'intero tempo di percorrenza. Quando due grafici si incontrano avviene l'urto delle rispettive biglie che hanno velocità opposte: si scambiano le velocità (urto elastico) e ciascuna prosegue nel grafico dell'altra. Si tratta di vedere quanto i tre grafici sono stati percorsi tenendo presenti vari valori di rispetto al tempo di percorrenza di un'intera parabola...

[Andg94]

si scambiano le velocità (urto elastico) e ciascuna prosegue nel grafico dell'altra.

In effetti a questo non ci avevo pensato... Mi ero fermato al secondo urto ma pensandola così di getto direi che la questione è molto più semplice di quello che pensavo adesso provo...

[t4ilgr4b]

I miei risultati sono, nel punto uno:
se allora:



se allora:



se allora:

Il tempo totale di volo è e in generale

per il punto due non ne sono ancora sicuro ma penso che in un tempo finito non si fermino. Comunque devo pensarci meglio, mi sembra troppo semplice...

Scrivo solo i risultati che se qualcuno ha già fatto l'esercizio ci si può confrontare per vedere se sono sbagliati mentre chi non lo ha ancora fatto ha il tempo di farlo.

[Andg94]

Si, anche io sono arrivato alle stesse soluzioni. Per quanto riguarda il punto 2, invece, io avrei pensato:
Se l'urto tra le due palline è di tipo elastico la velocità dei due corpi cambia di verso ma non di intensità. Quindi la seconda biglia dopo rimbalzi avrà un'energia cinetica pari a . Affinché la biglia lanciata per prima inizi a fermarsi, dovrà rimbalzare sul terreno. Ciò avviene però solo dopo che la seconda, quella che perde energia ad ogni rimbalzo, si ferma, soddisfando quindi , che è possibile solo per il tendere di ad infinito. Se non è finito di conseguenza non è finito.
Se invece allora le due biglie si fermeranno in un tempo finito, che equivale nel caso a:


Nel caso :


E nel caso


Ho detto qualche svarione?

[modesto]

Si, anche io sono arrivato alle stesse soluzioni. Per quanto riguarda il punto 2, invece, io avrei pensato:
Se l'urto tra le due palline è di tipo elastico la velocità dei due corpi cambia di verso ma non di intensità.

Ma se così fosse si conserverebbe la quantità di moto? A me sembra che cambierebbe di verso. Piuttosto sarei propenso a pensare che quella che viene dall'alto dopo l'urto torna verso l'alto con la velocità che aveva quella che veniva dal basso e viceversa. Così si conserverebbero qdm ed energia...
Se così fosse dovresti rivedere i conti successivi e arriveresti ad una progressione geometrica di ragione minore di 1, convergente ad un tempo finito? Ricorda il discorso dei grafici che ora sono sempre più bassi e più corti.

[Andg94]

Piuttosto sarei propenso a pensare che quella che viene dall'alto dopo l'urto torna verso l'alto con la velocità che aveva quella che veniva dal basso e viceversa. Se così fosse dovresti rivedere i conti successivi e arriveresti ad una progressione geometrica di ragione minore di 1, convergente ad un tempo finito?

Sinceramente in questo caso non ho capito come si possa arrivare ad un tempo finito... Se dopo il primo urto l'energia totale del sistema è e dopo il secondo è e così via l'energia totale dei due corpi non dovrebbe essere, ogni rimbalzi, pari a ?
(Si, hai ragione riguardo la quantità di moto... infatti mi ero andato a ricontrollare l'urto elastico prima di fare quella considerazione iniziale, e mi sono accorto solo poi che nel mio libro si diceva "la velocità di ciascuno dei corpi cambia di verso ma non d'intensità nel riferimento del centro di massa" )

[Gabry]

Sinceramente in questo caso non ho capito come si possa arrivare ad un tempo finito...

Infatti si fermano in un tempo infinito, almeno secondo la meccanica classica.

Tuttavia (e questo non penso sia richiesto nel test, ne sono sicuro di quello che scrivo ) se consideriamo gli effetti della meccanica quantistica, le sfere si fermeranno in un tempo finito. Infatti ammettiamo di avere uno strumento capace di misurare con precisione arbitraria la posizione della pallina che urta il suolo (ovviamente vogliamo che la pallina si fermi al suolo), l'incertezza ovviamente non potrà essere inferiore alla lunghezza di Planck, quindi per il principio di indeterminazione di Heisenberg abbiamo un'incertezza minima anche sulla quantità di moto e per quantità di moto inferiori a questo valore non possiamo dire se la pallina sia ferma o in movimento quindi possiamo concludere che sia ferma almeno in senso classico (infatti anche sui corpi "fermi" c'è un'incertezza molto piccola sul loro effettivo stato di moto o di quiete).