sns 2012 n.1

[Bolzo88]

Se davvero si può ragionare senza però come se ci fosse (ma potevano dire "di data resistività.." senza mettere il simbolo...) io darei come risultato del punto 1. quella differenza meno l'energia che è stata spesa per caricare il satellite+sferetta attaccata fino a q e che rimane come energia elettrostatica. Quest'ultima si può valutare e mi pare non riservi sorprese. E' e quindi la carica che va in superficie quando la sferetta si sposta da x a x+dx è con il relativo lavoro infinitesimo , essendo V(x) il potenziale raggiunto all'ascissa x che è pari a con
capacità del conduttore sferico. Integrando fra d ed R si ha
che per d>>R può approssimarsi con la formula ordinaria dell'energia del conduttore isolato quale esso è alla fine ovvero .
Si dissipa insomma in conclusione nell'intero processo complessivamente ?

Non mi tornano un po' di cose:

1) Prendi il che si muove sul satellite e lo moltiplichi per il potenziale di interazione. Perche' questa cosa dovrebbe darti la variazione di energia elettromagnetica? In aggiunta c'e' anche l'effetto che le cariche immagine (e di conseguenza anche le cariche reali sulla superficie) oltre a cambiare modulo si spostano pure, e questo mi sembra un effetto che non hai considerato.

2) Come V(x) prendi quello di una sfera uniformemente carica in superficie, ma il nostro satellite non e' una sfera uniformemente carica in superficie: ha una carica totale nulla, distribuita in modo vario sulla superficie, negativa nella porzione piu' vicina alla sferetta e positiva altrove.

Tirando le somme, il ragionamento mi sembra senza senso (potrei cambiare idea di fronte a una spiegazione) e in ogni caso, dato il punto (2), i conti sarebbero molto piu' complicati di quelli che hai fatto.

[modesto]

Non mi tornano un po' di cose:
1) Prendi il che si muove sul satellite e lo moltiplichi per il potenziale di interazione. Perche' questa cosa dovrebbe darti la variazione di energia elettromagnetica?
2) Come V(x) prendi quello di una sfera uniformemente carica in superficie, ma il nostro satellite non e' una sfera uniformemente carica in superficie.

1) Perchè si usa proprio questo procedimento nella nota dimostrazione dell'energia del conduttore che si carica. V(x) è il potenziale ATTUALE (cioè quando la sfera è a distanza x) sulla superficie (l'altra immagine e q non hanno effetto). Che vuol dire quindi potenziale di "interazione" se ho preso l'altra immagine in modo che insieme a q desse potenziale NULLO sulla superficie?
2) Il potenziale sulla superficie di cui si parla è UNICAMENTE quello generato dall'immagine centrale (perchè il potenziale deve essere costante) e non dall'altra immagine e da q che danno potenziale nullo sulla superficie. Le cariche reali di cui parli non c'entrano perchè sono rappresentate dalle immagini nei cui termini si ragiona e la cui teoria è stata proposta secondo me proprio per evitare i casini cui alludi.

Eppoi non hai risposto alla domanda "si dissipa insomma U(d)-U(R) - E ?". Perchè mi sembrava che fossi d'accordo che U(d) - U(R) dopo l'urto si era dissipata ( prima dell'urto, come scrivesti proprio tu era [U(d) - U(R) - Energia cinetica sfera] che si era dissipata). Allora, supposto come dici che E non abbia senso, dovrai ammettere che l'energia che è stata necessaria al "trasporto" di q sulla superficie del satellite - che è il dato finale indiscutibile perchè alla fine abbiamo la sua superficie con carica q o, equivalentemente, con carica immagine centrale q - NON si è dissipata. Come ne tieni conto?

[Bolzo88]

1) Perchè si usa proprio questo procedimento nella nota dimostrazione dell'energia del conduttore che si carica. V(x) è il potenziale ATTUALE (cioè quando la sfera è a distanza x) sulla superficie (l'altra immagine e q non hanno effetto). Che vuol dire quindi potenziale di "interazione" se ho preso l'altra immagine in modo che insieme a q desse potenziale NULLO sulla superficie?
2) Il potenziale sulla superficie di cui si parla è UNICAMENTE quello generato dall'immagine centrale (perchè il potenziale deve essere costante) e non dall'altra immagine e da q che danno potenziale nullo sulla superficie. Le cariche reali di cui parli non c'entrano perchè sono rappresentate dalle immagini nei cui termini si ragiona e la cui teoria è stata proposta secondo me proprio per evitare i casini cui alludi.

Eppoi non hai risposto alla domanda "si dissipa insomma U(d)-U(R) - E ?". Perchè mi sembrava che fossi d'accordo che U(d) - U(R) dopo l'urto si era dissipata ( prima dell'urto, come scrivesti proprio tu era [U(d) - U(R) - Energia cinetica sfera] che si era dissipata). Allora, supposto come dici che E non abbia senso, dovrai ammettere che l'energia che è stata necessaria al "trasporto" di q sulla superficie del satellite - che è il dato finale indiscutibile perchè alla fine abbiamo la sua superficie con carica q o, equivalentemente, con carica immagine centrale q - NON si è dissipata. Come ne tieni conto?

1) Nella nota dimostrazione dell'energia del conduttore che si carica i li porti dall'infinito (o comunque da un punto a potenziale zero) fino alla superficie del conduttore. Nel nostro caso, invece, li stiamo trasportando da un altro punto del conduttore stesso, che di sicuro non e' a potenziale zero.

2) D'accordo sul potenziale. Sulle cariche reali niente da dire nello specifico. Come considerazione generale (anche se credo che tu l'abbia gia' capito) ricordo che le cariche immagine sono uno strumento che serve unicamente per trovare i campi all'esterno di un conduttore, mentre, non essendo cariche reali, c'e' da starci molto attenti quando le si usa per considerazioni energetiche.

3) No, secondo me non si dissipa U(d)-U(R) - E. Il primo motivo e' che secondo me la tua E e' sbagliata, come spiego nel punto (1).
C'e' anche un altro motivo a cui ho pensato ora e che mi fa correggere un'affermazione che avevo fatto precedentemente. Avevo detto che prima dell'urto era [U(d) - U(R) - Energia cinetica sfera] che si era dissipata. Dopo averci ripensato non sono piu' d'accordo con questa mia affermazione, spiego perche'.
Il potenziale U che hai trovato viene dall'integrazione della forza attrattiva tra il satellite e la sferetta. Nel definire il potenziale assumi il valore della forza e te ne freghi dell'origine di questa forza. In questo modo, con questo potenziale, nel sistema a due corpi satellite-sferetta vale la conservazione dell'energia meccanica . Infatti, tra il satellite e la sferetta, non agiscono forze non conservative: l'unica forza e' quella di attrazione che di sicuro fa un lavoro nullo su un percorso chiuso. , quindi, ci da' l'energia cinetica della sferetta subito prima dell'urto.
Per trovare l'energia dissipata, invece, dobbiamo considerare anche le forze interne al satellite e alla sferetta, che fanno lavoro dato che ci sono spostamenti di carica. Per tenerne conto dobbiamo usare, invece del potenziale che hai trovato, l'energia totale della distribuzione di carica (mi raccomando, delle cariche reali e non delle cariche immagine che non esistono veramente).
Il ragionamento e' molto delicato, dimmi se ti torna.
Se il ragionamento torna, riesci a calcolare l'energia dissipata usando l'energia della distribuzione di carica?

[modesto]

Avevo detto che prima dell'urto era [U(d) - U(R) - Energia cinetica sfera] che si era dissipata. Dopo averci ripensato non sono piu' d'accordo con questa mia affermazione, spiego perche'.
, quindi, ci da' l'energia cinetica della sferetta subito prima dell'urto.
Per trovare l'energia dissipata, invece, dobbiamo considerare anche le forze interne al satellite e alla sferetta, che fanno lavoro dato che ci sono spostamenti di carica. Per tenerne conto dobbiamo usare, invece del potenziale che hai trovato, l'energia totale della distribuzione di carica (mi raccomando, delle cariche reali e non delle cariche immagine che non esistono veramente).
Il ragionamento e' molto delicato, dimmi se ti torna.
Se il ragionamento torna, riesci a calcolare l'energia dissipata usando l'energia della distribuzione di carica?

Se U(d) -U(R) è l'energia cinetica della sferetta torni a ciò che sostenevo io quando mi facesti osservare che, invece, U rappresentava l'energia del sistema e quindi rendeva conto dei consumi energetici (Joule) anche all'interno del satellite! Sono addivenuto a questo punto di vista ed ora mi sembra che sia tu a voler tornare sui ...miei passi.
Ribadisco invece che U deve vedersi come energia potenziale del sistema perchè rappresenta l'energia di q nel campo generato dalle immagini e l'energia delle immagini in quello generato da q. Si parte con U(d) si arriva con U(R), Energia cinetica sfera, e movimento di cariche dentro il satellite provocato dall'avvicinamento della sfera e quindi da F che ha causato effetto Joule. Questi sono dati indiscutibili. Pertanto secondo me prima dell'urto U(d)-U(R)= E.cinetica sfera+ calore dissipato Joule + E elettrostatica accumulata sul satellite. Dopo l'urto scompare E.cinetica sfera e si trasforma in ulteriore calore che si somma a quello dissipato dentro il satellite per Joule e RIMANE COME RISULTATO FINALE la E elettrostatica- calcolala come vuoi- del satellite. Così la penso: quindi si dissipa secondo me U(d)-U(R)-E.
Infine ho già fatto il tentativo che mi chiedi: ma anche qui si ritorna ai conti brutti che mi hai detto di evitare e si deve ricoinvolgere che hai detto essere solo indicativo. Ma allora è tutto deja vu...Comunque nei prossimi giorni posso postare anche questo conto...per come lo vedo io ovviamente.

Hai detto più volte di conoscere la soluzione corretta e di non postarla perchè ci arriviamo da noi. Non so Gabry come la pensa ma io ritengo che sia venuto il momento di conoscerla.

[Bolzo88]

Se U(d) -U(R) è l'energia cinetica della sferetta torni a ciò che sostenevo io quando mi facesti osservare che, invece, U rappresentava l'energia del sistema e quindi rendeva conto dei consumi energetici (Joule) anche all'interno del satellite! Sono addivenuto a questo punto di vista ed ora mi sembra che sia tu a voler tornare sui ...miei passi.

Confermo, su questo avevo detto una cosa che ora mi sembra sbagliata e sono tornato sui tuoi passi. Chiedo scusa per la perdita di tempo.

Ribadisco invece che U deve vedersi come energia potenziale del sistema perchè rappresenta l'energia di q nel campo generato dalle immagini e l'energia delle immagini in quello generato da q. Si parte con U(d) si arriva con U(R), Energia cinetica sfera, e movimento di cariche dentro il satellite provocato dall'avvicinamento della sfera e quindi da F che ha causato effetto Joule. Questi sono dati indiscutibili. Pertanto secondo me prima dell'urto U(d)-U(R)= E.cinetica sfera+ calore dissipato Joule + E elettrostatica accumulata sul satellite. Dopo l'urto scompare E.cinetica sfera e si trasforma in ulteriore calore che si somma a quello dissipato dentro il satellite per Joule e RIMANE COME RISULTATO FINALE la E elettrostatica- calcolala come vuoi- del satellite. Così la penso: quindi si dissipa secondo me U(d)-U(R)-E.
Infine ho già fatto il tentativo che mi chiedi: ma anche qui si ritorna ai conti brutti che mi hai detto di evitare e si deve ricoinvolgere che hai detto essere solo indicativo. Ma allora è tutto deja vu...Comunque nei prossimi giorni posso postare anche questo conto...per come lo vedo io ovviamente.

No aspetta a postare il conto della dissipazione con la , prima posto io la mia soluzione.
Sul resto faccio veramente fatica a seguire i tuoi ragionamenti, l'unica cosa su cui sono sicuramente d'accordo e' che l'energia finale dopo l'urto e' l'energia elettrostatica del satellite.[/quote]

Hai detto più volte di conoscere la soluzione corretta e di non postarla perchè ci arriviamo da noi. Non so Gabry come la pensa ma io ritengo che sia venuto il momento di conoscerla.

Lo penso anche io, anche perche' ormai ti ho contestato tutto il contestabile ed e' passato un sacco di tempo da quando hai postato il problema.
Nel prossimo post scrivo la mia soluzione del punto (1), ai punti successivi forse vorrete pensarci alla luce della mia soluzione.

[Bolzo88]

MIA SOLUZIONE DEL PUNTO (1)
Iniziamo con la spiegazione della forza attrattiva. La sferetta carica genera un campo sul satellite, che ha l'effetto di mandare una carica di segno opposto a q sulla superficie vicina alla sferetta e una carica di segno uguale a q sulla parte di superficie piu' lontana dalla sferetta. Ma il campo generato da queste cariche sul satellite produce una forza attrattiva sul satellite.

Calcoliamo ora l'energia dissipata in calore per effetto Joule sul satellite. Per farlo usiamo la conservazione dell'energia tra l'istante iniziale e l'istante finale (dopo che l'urto e' avvenuto).

All'istante iniziale l'energia cinetica e' nulla perche' entrambi i corpi sono fermi. L'energia totale e' quindi l'energia elettrostatica della distribuzione di carica. La distribuzione di carica e': una sferetta di raggio r con carica q distribuita uniformemente sulla superficie piu' una sfera di raggio a distanza dalla sferetta sulla cui superficie e' indotta una piccola carica , positiva da un lato e negativa dall'altro.
Per il calcolo dell'energia iniziale dobbiamo fare il calcolo dell'energia elettrostatica di quesa distribuzione, che si fa portando un dq alla volta dall'infinito, calcolando il lavoro che si compie in questo processo, e sommando (integrando) tutti i contributi. Iniziamo a portare le cariche che ci sono sulla sferetta: ci viene l'energia elettrostatica di una superficie sferica carica, (vedi sotto). A questo punto dovremmo portare dall'infinito, un dq alla volta, le cariche che ci sono sul satellite, calcolando il lavoro fatto per ognuna di esse. Ma queste cariche si muovono in un campo che e' quello generato dalla sferetta piu' quello generato dalle cariche gia' presenti sul satellite, quindi per muoverle dovrei fare un lavoro che e' al piu' dell'ordine di o . In ogni caso questi termini sarebbero piccoli rispetto all'energia elettrostatica della sferetta, quindi li trascuro. Questa approssimazione mi e' molto utile perche' i termini che ho buttato non li saprei calcolare facilmente.
L'energia elettrostatica iniziale e' quindi:


Calcoliamo ora l'energia dopo l'urto: l'energia cinetica e' ancora nulla, ancora una volta c'e' solo il contributo dell'energia elettrostatica.
La distribuzione di carica, in questo caso, dovrebbe essere q distribuita uniformemente su una superficie sferica di raggio R. Questa distribuzione avrebbe energia .
In realta', volendo essere pignoli, c'e' anche una piccola protuberanza sferica di raggio r (il satellite) che dovrebbe dare un contributo trascurabile, ma di sicuro va a diminuire l'energia elettrostatica: infatti, aggiungendo una protuberanza conduttrice alla sfera carica di raggio R, le cariche si muoverebbero spontaneamente (e quindi diminuendo l'energia elettrostatica) per andare alla nuova distribuzione di equilibrio.
Quindi, per l'energia finale, molto probabilmente vale:

e, per i piu' pignoli come me, sicuramente vale:


L'energia dissipata in calore e' quindi:

Nell'ultima approssimazione ho usato che

Ho sempre usato

Energia elettrostatica di una superficie sferica di raggio R e carica Q
Per calcolare l'energia elettrostatica della superficie sferica devo portare un dq alla volta dall'infinito e calcolare il lavoro che faccio.
Per un dq il lavoro e': .
L'energia totale e' quindi:

[Gabry]

Nel calcolo dell'energia elettrostatica iniziale perchè non va bene integrare la forza dovuta alle cariche immagine tra satellite e sfera portando la sfera dall'infinito? Anche se è presente una resistività che farebbe spendere del lavoro in più penso che i casi in cui il satellite abbia resistività nulla, resistività finita e resistività prima nulla nell'avvicinare la sfera dall'infinito per poi diventare finita (improvvisamente per un qualche motivo) una volta avvicinate dovrebbero avere la stessa energia potenziale (infatti l'avvicinare le cariche dall'infinito dovrebbe essere semplicemente un metodo, come quello delle immagini lo è per il campo elettrico, per trovare l'energia della distribuzione di carica. Si consideri ad esempio l'energia gravitazionale di una sfera a distanza d dalla terra: posso sempre calcolarla avvicinandola dall'infinito ma la sua energia potenziale sarà la stessa sia se è presente l'attrito con l'aria nell'avvicinarla, sia se è avvicinata nel vuoto).
Non ho ancora ricevuto una risposta esauriente sulle approssimazioni: se trascuriamo la carica indotta sulla sfera dopo l'urto io non avrei considerato nemmeno quella dovuta alle cariche immagine (trattando cioè l'energia iniziale come l'energia della sfera isolata e l'energia finale come l'energia del satellite isolato con tutta la carica q) in questo modo con un'approssimazione sensata (o almeno sensata tanto quanto quella di considerare soltanto l'energia del satellite dopo l'urto) avrei risparmiato molto tempo in un eventuale test e per di più così sarebbe ininfluente il problema che nel sillabus non sono presenti le cariche immagini (d'altronde nel primo punto chiedeva di spiegare QUALITATIVAMENTE perchè si generava una forza e non di calcolarla, il che non avrebbe molto senso se nei punti successivi bisogna calcolarla).

[Bolzo88]

Nel calcolo dell'energia elettrostatica iniziale perchè non va bene integrare la forza dovuta alle cariche immagine tra satellite e sfera portando la sfera dall'infinito? Anche se è presente una resistività che farebbe spendere del lavoro in più penso che i casi in cui il satellite abbia resistività nulla, resistività finita e resistività prima nulla nell'avvicinare la sfera dall'infinito per poi diventare finita (improvvisamente per un qualche motivo) una volta avvicinate dovrebbero avere la stessa energia potenziale (infatti l'avvicinare le cariche dall'infinito dovrebbe essere semplicemente un metodo, come quello delle immagini lo è per il campo elettrico, per trovare l'energia della distribuzione di carica. Si consideri ad esempio l'energia gravitazionale di una sfera a distanza d dalla terra: posso sempre calcolarla avvicinandola dall'infinito ma la sua energia potenziale sarà la stessa sia se è presente l'attrito con l'aria nell'avvicinarla, sia se è avvicinata nel vuoto).

Non va bene integrare la forza dovuta alle cariche immagine perche' in questo modo non tieni conto del lavoro necessario per portare la carica q sulla sferetta a partire da una situazione con cariche all'infinito. L'energia della sferetta, pero', e' proprio il termine dominante dell'energia. Gli altri termini li ho trascurati dicendo che sono piccoli per , .
Sul fatto che per calcolare l'energia elettrostatica non teniamo conto della resistivita', invece, sono d'accordo.

Non ho ancora ricevuto una risposta esauriente sulle approssimazioni: se trascuriamo la carica indotta sulla sfera dopo l'urto io non avrei considerato nemmeno quella dovuta alle cariche immagine (trattando cioè l'energia iniziale come l'energia della sfera isolata e l'energia finale come l'energia del satellite isolato con tutta la carica q) in questo modo con un'approssimazione sensata (o almeno sensata tanto quanto quella di considerare soltanto l'energia del satellite dopo l'urto) avrei risparmiato molto tempo in un eventuale test e per di più così sarebbe ininfluente il problema che nel sillabus non sono presenti le cariche immagini (d'altronde nel primo punto chiedeva di spiegare QUALITATIVAMENTE perchè si generava una forza e non di calcolarla, il che non avrebbe molto senso se nei punti successivi bisogna calcolarla).

Quello che dici e' esattamente quello che ho fatto nella mia soluzione: ho preso come energia iniziale quella della sfera isolata e come energia finale quella del satellite isolato con carica q. Tutte le correzioni le ho buttate, motivando le approssimazioni, e alla fine, nel calcolo del calore, ho anche approssimato a zero l'energia elettrostatica finale usando .
D'accordissimo sul non usare le cariche immagine.

[Gabry]

Non va bene integrare la forza dovuta alle cariche immagine perche' in questo modo non tieni conto del lavoro necessario per portare la carica q sulla sferetta a partire da una situazione con cariche all'infinito. L'energia della sferetta, pero', e' proprio il termine dominante dell'energia. Gli altri termini li ho trascurati dicendo che sono piccoli per , .
Sul fatto che per calcolare l'energia elettrostatica non teniamo conto della resistivita', invece, sono d'accordo.

La forza varia con la distanza ma non come quella dovuta ad una carica fissa, cioè con lo spostamento delle cariche immagine che all'infinito sono nulle (la forza dovuta delle cariche immagine è esattamente la stessa di quella dovuta alla distribuzione di carica che rappresentano). Quindi nell'avvicinare una carica dall'infinito consideriamo anche il lavoro per spostare le cariche sulla superficie, dato che anche le cariche immagine si spostano e la forza varia anche in relazione alla posizione e all'intensità delle cariche immagine, sono abbastanza sicuro di questo metodo (magari sarà sbagliata la mia interpretazione) perchè l'ho trovata qualche tempo fa nella soluzione di qualche problema (non ricordo esattamente se fosse una ipho o un problema tratto da qualche libro).

Quello che dici e' esattamente quello che ho fatto nella mia soluzione: ho preso come energia iniziale quella della sfera isolata e come energia finale quella del satellite isolato con carica q. Tutte le correzioni le ho buttate, motivando le approssimazioni, e alla fine, nel calcolo del calore, ho anche approssimato a zero l'energia elettrostatica finale usando R>>r.
D'accordissimo sul non usare le cariche immagine.

Avevo letto che approssimavi qualcosa ma non avevo capito che in poche parole trascuravi l'energia dovuta alle cariche immagine, sono d'accordo sulla tua soluzione.

[Bolzo88]

La forza varia con la distanza ma non come quella dovuta ad una carica fissa, cioè con lo spostamento delle cariche immagine che all'infinito sono nulle (la forza dovuta delle cariche immagine è esattamente la stessa di quella dovuta alla distribuzione di carica che rappresentano). Quindi nell'avvicinare una carica dall'infinito consideriamo anche il lavoro per spostare le cariche sulla superficie, dato che anche le cariche immagine si spostano e la forza varia anche in relazione alla posizione e all'intensità delle cariche immagine, sono abbastanza sicuro di questo metodo (magari sarà sbagliata la mia interpretazione) perchè l'ho trovata qualche tempo fa nella soluzione di qualche problema (non ricordo esattamente se fosse una ipho o un problema tratto da qualche libro).

Io non sono sicuro di questo metodo, ci devo pensare.
Nel nostro problema, comunque, non ci serve, perche' il contributo che da' e' trascurabile rispetto all'energia elettrostatica della sferetta di carica q.
Mi raccomando, il punto fondamentale e' capire l'energia elettrostatica della sferetta, se ci sono dubbi su quello chiedimi perche' e' una cosa importante da capire.