sns 2012 n.1

[modesto]

Finalmente sono comparsi i testi ufficiali degli ultimi sns. Proporrei di sviscerarli uno per volta.

Esercizio 1. Un satellite nello spazio si può approssimare come una massa di materiale metallico M con resistività media finita . La forma del satellite è approssimativamente sferica di raggio R. Ad una distanza d>>R dal satellite si viene a trovare una sferetta metallica, inizialmente ferma rispetto al satellite, di massa m<< M e raggio r<<R, dotata di una carica elettrica q. Il satellite ha carica elettrica totale nulla. Si considerino inoltre trascurabili tutti gli effetti indotti da forze gravitazionali.
- Spiegare qualitativamente perchè si genera una forza attrattiva fra il satellite e la sferetta.
A causa di questa forza, il satellite e la sferetta accelerano l'una verso l'altro, e infine collidono dopo un certo tempo. Si supponga che la collisione sia completamente anelastica e la sferetta rimanga attaccata al satellite formando un corpo unico dopo l'urto.
1. Si calcoli l'energia dissipata in calore durante questo processo
2. Si risponda alla domanda precedente, nel caso che la sferetta non sia inizialmente ferma rispetto al satellite, ma abbia una (piccola) velocità iniziale v perpendicolare alla direzione della congiungente i due oggetti.
3. Perchè nella domanda precedente si richiede che la velocità sia "piccola"?
4. Che cosa succederebbe se la velocità iniziale fosse esattamente quella necessaria a mettere la sferetta in un'orbita circolare attorno al satellite? Si descriva qualitativamente l'evoluzione del sistema.

Tanto per iniziare il discorso. Il satellite metallico deve rimanere equipotenziale e complessivamente scarico. Esso è soggetto al campo elettrico generato dalla sferetta che a quella distanza può supporsi a linee di forza parallele al diametro del satellite sulla congiungente i due centri. Per effetto di questo campo si genera una corrente nel satellite che porta cariche omonime a q sulla superficie semisferica opposta a quella vista dalla sferetta. La distribuzione è tale da generare un campo opposto a quello della sferetta in modo da mantenere equipotenziale il satellite e da attrarre la sferetta medesima verso il satellite. Ma avvicinandosi la sferetta il suo campo aumenta e quindi devono aumentare contemporaneamente anche le cariche indotte sulle due semisfere del satellite fino all'impatto quando dovrebbero ciascuna valere q in valore assoluto? Di modo che dopo, nel corpo congiunto, permane la carica q originariamente sulla sferetta?


Nota del moderatore: per chi volesse la soluzione per un confronto, la mia soluzione del punto (1) si trova in questo post:
olifis/phpBB3/viewtopic.php?p=10354#p10354
Qui c'e' una proposta di soluzione per i punti 2,3,4. E' corretta nei punti 2 (a patto di finire i conti) e 3, in discussione per il 4.
olifis/phpBB3/viewtopic.php?p=10383#p10383
Ed ecco i risultati del punto 2:
olifis/phpBB3/viewtopic.php?p=10456#p10456
Bolzo88

[Gabry]

Sul satellite per mantenere la superficie equipotenziale e il satellite globalmente neutro usando il metodo della carica immagine si vengono a creare due cariche "immaginarie" una lungo la congiungente satellite sferetta e una al suo centro uguale ed opposta alla prima:
ad una distanza dal centro quando le due cariche arrivano in contatto per avere l'equilibrio le superfici delle due sfere devono essere equipotenziali quindi inoltre deve valere la conservazione della carica per cui da cui e . Dalla conservazione dell'energia trascurando l'energia gravitazionale così come scritto nel testo:
sostituendo con le cariche trovate in precedenza:
da cui mi verrebbe

[modesto]

L'idea dell'immagine può andare: l'abbiamo applicata anche recentemente come ricorderai. Però ci sono dettagli importanti della tua proposta che vorrei discutere

Sul satellite per mantenere la superficie equipotenziale e il satellite globalmente neutro usando il metodo della carica immagine si vengono a creare due cariche "immaginarie" una lungo la congiungente satellite sferetta e una al suo centro uguale ed opposta alla prima:
ad una distanza dal centro

Insomma c'è la carica immagine positiva nel centro e la sua opposta a distanza dal centro. Da notare che la condizione deriva, secondo la teoria delle immagini, dal fatto che sulla superficie del conduttore i potenziali della q della sferetta e della immagine negativa a distanza x dal centro si debbono elidere. L'unico potenziale costante della superficie è perciò quello generato dall'immagine nel centro della sfera. Siamo d'accordo?

quando le due cariche arrivano in contatto per avere l'equilibrio le superfici delle due sfere devono essere equipotenziali quindi inoltre deve valere la conservazione della carica per cui da cui e .

Questa parte mi risulta oscura. Nella prima uguaglianza è q e non che dista r dalla superficie e quindi manca una carica e poi arrivi alla conclusione che le due sono diverse in valore assoluto e anche di molto. O non dovevano essere uguali?

Dalla conservazione dell'energia trascurando l'energia gravitazionale così come scritto nel testo:
sostituendo con le cariche trovate in precedenza:
da cui mi verrebbe

Dovrebbe trasformarsi in calore l'energia cinetica acquistata da q data la sua massa ammettendo quindi che il satellite M sia stato fermo. Giustamente si può porre uguale alla variazione d'energia potenziale ma il secondo addendo del secondo membro non mi convince. Va osservato che quando entrambe le immagini debbono valere q!
Infine: perchè sarebbe stata data la resistività? Non c'è anche qualche effetto Joule?

[Gabry]

Questa parte mi risulta oscura. Nella prima uguaglianza è q e non che dista r dalla superficie e quindi manca una carica e poi arrivi alla conclusione che le due sono diverse in valore assoluto e anche di molto. O non dovevano essere uguali?

Al momento del contatto le carica si sposta parzialmente dalla sfera al satellite, all'equilibrio i potenziali sulla superficie delle due sfere dovrebbero essere uguali, altrimenti con un valore diverso si avrebbe un corrente che scorre dettata proprio da questa differenza di potenziale fino a stabilire l'equilibrio. Pensadoci bene però forse bisognerebbe considerare anche qui una carica indotta su entrambe le sfere tale da rendere le superfici equipotenziali, ci rifletterò su.

Infine: perchè sarebbe stata data la resistività? Non c'è anche qualche effetto Joule?

Questo è il mio dubbio. Indubbiamente la maggior parte del calore fornito è dato proprio dall'effetto joule (man mano che le sfere si spostano cambia anche la distribuzione di carica causando correnti non facilmente definibili). Tuttavia conservando l'energia basta tener conto solo dei valori iniziali e finali e quindi ho interpretato il dato semplicemente come una esplicazione che esclude il caso di una resistività infinita o nulla che porterebbe a condizioni estreme.

[Gabry]

Per quanto riguarda le cariche dopo il contatto mi è venuto questo in mente: bisogna posizionare due cariche q1 e q2 rispettivamente una nel satellite e una nella sfera tali che si conservi la carica totale e ad una distanza dai centri tale che le due sfere siano equipotenziali. Bisognerebbe in pratica risolvere il sistema (ho eguagliato il potenziale al punto di contatto con i punti estremi delle due sfere lungo la congiungente i due centri, x1 e x2 sono rispettivamente la distanza dal centro della sfera e del satellite):

Se pensi anche tu che vada bene appena ho tempo lo risolvo

[modesto]

Per quanto riguarda le cariche dopo il contatto mi è venuto questo in mente: bisogna posizionare due cariche q1 e q2 rispettivamente una nel satellite e una nella sfera tali che si conservi la carica totale e ad una distanza dai centri tale che le due sfere siano equipotenziali.

Io la vedo così.Un attimo prima del contatto la situazione è: la carica q, che è arrivata da distanza d, dista ora dal centro del satellite (con la sua carica q che può immaginarsi puntiforme nel suo centro come per ogni sfera) e quindi la carica al centro del satellite vale ora così come l'altra immagine puntiforme che è negativa e si trova come dici a una distanza dal centro . In questa posizione l'energia potenziale cui bisogna riferirsi (secondo addendo del secondo membro del tuo post) è allora

rispetto a cui va calcolata Q (è ovvio che nel tuo primo membro che si riferisce alla distanza d andrà messo e ).

Al momento del contatto la carica q arrivata viene annichilata dalla carica immagine puntiforme in R e rimane soltanto l'immagine virtuale q nel centro. Questo dal punto di vista virtuale. Dal punto di vista reale avviene che la carica q della sferetta si elide con la carica -q indotta nella semisfera vicina e rimane allora su tutta la sfera satellitare la carica q che era stata indotta sulla superficie semisferica lontana. q così si conserva.

Quindi secondo me il conto che vuoi approfondire è inutile. Per quanto riguarda la corrente. Essa esiste solo nel satellite e nel fenomeno reale(qui la teoria delle immagini non serve) via via che si avvicina la sferetta a carica q aumenta il campo da essa generato sul satellite. Se q è positiva questo campo provoca spostamento crescente di cariche positive sulla superficie semisferica opposta e negative su quella vicina fino a che nella superficie semisferica lontana è indotta +q e in quella vicina -q. Questo spostamento di cariche opposte è necessario perchè devono creare un campo elettrico che, istante per istante, è opposto al campo induttore generato da q che si avvicina: infatti il campo totale dentro il conduttore deve essere nullo per garantire superficie equipotenziale. Siccome questi spostamenti avvengono nel satellite-conduttore con resistività data, devono riscaldarlo per effetto Joule. Sei d'accordo? Ti prego di precisare , come mi sembra di aver fatto a me, i nostri dissensi chiarendone i motivi.

[Gabry]

Potresti spiegarti meglio sul valore e sulla posizione delle cariche dopo il contatto?
Se ho capito bene (dall'equazione mi pare di capire questo) dopo il contatto sono presenti due cariche q al centro rispettivamente della sfera e del satellite. Ma, se con q ti riferisci alla carica iniziale sulla sfera, non capisco come la carica totale possa conservarsi dato che questa deve essere uguale a quella iniziale (considerando il satellite avvicinato dall'infinito), cioè solo q.
Quando il satellite e la sfera sono a contatto dal punto di vista elettrostatico si comportano come un unico conduttore (non ha cioè differenza da un unico corpo avente quella forma e una carica totale q al suo interno) quindi la sua superficie deve essere equipotenziale. Due cariche uguali poste al centro del satellite e della sfera non possono garantire una superficie, della sfera più quella del satellite, equipotenziale (e forse neanche due cariche diverse poste ognuna in un centro possono garantirlo).

[modesto]

Potresti spiegarti meglio sul valore e sulla posizione delle cariche dopo il contatto?
Se ho capito bene (dall'equazione mi pare di capire questo) dopo il contatto sono presenti due cariche q al centro rispettivamente della sfera e del satellite. Ma, se con q ti riferisci alla carica iniziale sulla sfera, non capisco come la carica totale possa conservarsi dato che questa deve essere uguale a quella iniziale (considerando il satellite avvicinato dall'infinito), cioè solo q.

Io non so spiegarmi meglio, purtroppo. L'equazione si riferisce ad un "attimo" prima del contatto. Al momento del contatto...Al momento del contatto la carica q arrivata viene annichilata dalla carica immagine puntiforme in R e rimane soltanto l'immagine virtuale q nel centro. Questo dal punto di vista virtuale. Dal punto di vista reale avviene che la carica q della sferetta si elide con la carica -q indotta nella semisfera vicina e rimane allora su tutta la sfera satellitare la carica q che era stata indotta sulla superficie semisferica lontana. q così si conserva.
Ho ribadito quanto avevo scritto. Come si fa a dedurre che rimangono due cariche q? La carica q che arriva sulla sferetta da d si ANNICHILA con la carica virtuale mobile che ora si trova in R e che è arrivata quasi dal centro del satellite (infatti dista dal centro del satellite come hai detto tu(!) ma d ora è quindi dista dal centro proprio R come la q arrivata sulla sfera; inoltre vale ma d=R e quindi cioè è OPPOSTA alla carica arrivata sulla sferetta). Venendo a contatto allora si ANNULLANO vicendevolmente e quindi rimane solo l'altra carica immagine che vale +q nel centro della satellite! Ecco perche la carica q, che prima era sulla sferetta e che ora è nel centro del satellite, si conserva. Ovviamente date le dimensioni della sferetta attaccata al satellite garantisce la superficie equipotenziale delle sfere congiunte. Questo dal punto di vista virtuale, dal punto di vista del processo reale non posso che ribadire quanto ho riscritto in neretto.
Siccome avrei una proposta di soluzione per l'intero problema, quando lo ritieni opportuno la posso postare. Oppure se ne hai pronta una anche tu, dopo la tua. Dimmi un pò tu come intendi procedere...

[Gabry]

Perchè hai considerato l'energia prima del contatto? Per calcolare il calore bisogna considerare l'energia dopo che il contatto è avvenuto.
Per quanto riguarda la distribuzione di carica dopo il contatto effettivamente mi è venuto il dubbio che non è detto che due cariche possano garantire la superficie equipotenziale, forse sono necessarie più cariche o una distribuzione continua di carica... Non capisco però come possa rimanere solamente una carica +q al centro del satellite, questa non tenderebbe in parte a fluire verso la sfera?

[Gabry]

Ci sono arrivato da solo, se la sfera è piccola anche la differenza di potenziale tra la sfera e il satellite sarà piccola e quindi la carica che "ripassa" (in realtà non la abbandona mai) sulla sfera è piccola e trascurabile e anche le superfici possono essere approssimate come equipotenziali, l'energia dopo il contatto sarebbe quindi 0 perché dovuta ad una sola carica.
Però, approssimazione per approssimazione, mi viene spontanea una domanda: se d>>R potenzialmente anche la carica indotta sul satellite è piccola e trascurabile, come potrebbe quindi uno decidere quando trascurare e quando no qualcosa non conoscendo quanto r e d siano rispettivamente più piccolo e più grande di R?