sns 2012 n.1

[modesto]

Per quanto riguarda la distribuzione di carica dopo il contatto effettivamente mi è venuto il dubbio che non è detto che due cariche possano garantire la superficie equipotenziale, forse sono necessarie più cariche o una distribuzione continua di carica... Non capisco però come possa rimanere solamente una carica +q al centro del satellite, questa non tenderebbe in parte a fluire verso la sfera?

Credo proprio che non ci capiamo: o io non so spiegarmi o tu non mi leggi. Ribadisco per l'ULTIMA volta che secondo me ci sono due aspetti, uno virtuale con le cariche immagine ed uno reale descritto dal precedente, che conducono ovviamente allo stesso risultato finale e cioè che la carica q passa dalla superficie della sferetta a quella del satellite più sferetta, cioè del satellite viste le dimensioni relative. Nel processo virtuale l'annichilazione della carica q, che sta sulla sferetta con la carica immagine -q in R, lascia l'altra immagine virtuale +q - non la carica reale come hai inteso tu - nel centro del satellite come unica carica virtuale residua. Ma una carica nel centro del satellite conduttore equivale certo alla stessa carica sulla sua superficie!
Questo fenomeno virtuale (tutto va come se...) rappresenta il fenomeno reale per cui la carica +q che sta sulla superficie della sferetta annulla la carica -q che è stata indotta nella semisfera satellitare con cui viene a contatto e lascia quindi sulla superficie dell'intero satellite la carica +q che era stata indotta sull'altra semisfera.
Morale: una carica +q è passata dalla superficie della sferetta di raggio r a quella satellitare di raggio R ed è anche rispetto a questo che ritengo vada calcolato l'effetto Joule. In un paio di giorni posterò la mia proposta di soluzione in modo da rendere il dibattito più esplicito aprendolo così (mi auguro) anche ad altri interlocutori.

[Gabry]

Nel post precedente avevo detto che questo andava bene ma è un'approssimazione, infatti non si possono avere due corpi che abbiano una differenza di potenziale a contatto senza che fluisca della carica. Una piccola carica, che visto le dimensioni della sferetta può essere considerata trascurabile, deve per forza rimanere sulla sferetta. Se i due corpi avessero avuto le stesse dimensioni una stessa quantità di carica si sarebbe distribuita su ciascun corpo. La mia domanda era dovuta al fatto che potenzialmente si commette un errore abbastanza grande considerando la carica della sferetta nulla visto che si è tenuto conto della carica indotta che è molto piccola ad una distanza d.

[modesto]

Nel post precedente avevo detto che questo andava bene ma è un'approssimazione, infatti non si possono avere due corpi che abbiano una differenza di potenziale a contatto senza che fluisca della carica. Una piccola carica, che visto le dimensioni della sferetta può essere considerata trascurabile, deve per forza rimanere sulla sferetta. Se i due corpi avessero avuto le stesse dimensioni una stessa quantità di carica si sarebbe distribuita su ciascun corpo. La mia domanda era dovuta al fatto che potenzialmente si commette un errore abbastanza grande considerando la carica della sferetta nulla visto che si è tenuto conto della carica indotta che è molto piccola ad una distanza d.

Io penso che quando la superficie della sferetta è a distanza infinitesima da quella del satellite i due centri distano R+r, la carica q della sferetta può immaginarsi nel suo centro e la sua U - considerando che le cariche immagini generatrici sono q nel centro del satellite e -q a distanza R dal centro - è quella che ti scrissi. Quando avviene il contatto effettivo la carica q della sferetta elide quella -q immagine o indotta nella semisfera satellitare con cui contatta e rimane allora su tutta la sfera satellitare e sulla sferetta attaccata la carica q che prima era sulla sferetta. Il fatto significativo è che nel passaggio dalla sferetta alla sfera satellitare q perde energia potenziale perchè aumenta il raggio della sfera su cui viene distribuita. Dove va quest'energia? Io penso in calore.
Ti faccio anche notare che per d>R si hanno cariche generatrici che dipendono dalla distanza della sferetta e ciò modifica l'ordinaria legge di Coulomb sull'inverso del quadrato della distanza. Come scrissi, preparo la soluzione organica così da domani l'altro il confronto sarà più esplicito.

[Gabry]

Sono d'accordo fino a cio che accade un momento prima del contatto.Al momento del contatto non sono d'accordo su quello che tu dici che succeda, ossia che la carica sulla sfera e la prima carica indotta sul satellite si elidano. Si ha nel complesso un movimento di carica per cui dopo il contatto anche la distribuzione di carica distribuita sul satellite si rimescola e non tutta la carica della sferetta passa sul satellite. Due conduttori a contatto raggiungono l'equilibrio elettrostatico quindi non è possibile che uno sia carico e l'altro no, sono i classici problemi elementari che si fanno anche a scuola, infatti se i due corpi avessero avuto le stesse dimensioni una stessa quantità di carica si sarebbe posizionata nei due. Si può approssimare come se tutta la carica sia sul satellite dato che viste le piccole dimensioni della sfera la carica che vi rimane è piccola ma, ripeto per la terza volta, si potrebbe approssimare con la stessa incertezza, per quanto ne sappiamo dai dati, la carica indotta a distanza d nulla quindi mi sembra che, se effettivamente il problema sia stato pensato con questa approssimazione, sia molto artificioso perchè tiene conto solo di alcuni effetti tralasciandone altri di cui essendo semplicemente fornito r<<R e d>>R non si può stimare la rilevanza.

[modesto]

Sono d'accordo fino a cio che accade un momento prima del contatto. Si può approssimare come se tutta la carica sia sul satellite dato che viste le piccole dimensioni della sfera la carica che vi rimane è piccola ma, ripeto per la terza volta, si potrebbe approssimare con la stessa incertezza, per quanto ne sappiamo dai dati, la carica indotta a distanza d nulla

Sono d'accordo che, date le dimensioni relative, la carica q è praticamente TUTTA sul satellite (e, certo, anche sulla sfera attaccata). Non mi sembra invece giusto sostenere che, per quel che ne sappiamo, la carica indotta da distanza d sia nulla: proprio sulla base dei dati essa è qR/d, piccola quanto vuoi perchè d>>R ma non nulla! D'altra parte altrimenti il problema sarebbe già chiuso...

[Gabry]

Sono d'accordo che, date le dimensioni relative, la carica q è praticamente TUTTA sul satellite (e, certo, anche sulla sfera attaccata). Non mi sembra invece giusto sostenere che, per quel che ne sappiamo, la carica indotta da distanza d sia nulla: proprio sulla base dei dati essa è qR/d, piccola quanto vuoi perchè d>>R ma non nulla! D'altra parte altrimenti il problema sarebbe già chiuso..

E' proprio questo il punto, finalmente ci siamo capiti, anche la carica non è tutta sul satellite ma rimane una carica, piccola quanto vuoi dato che r<<R, sulla sfera ma non nulla! potenzialmente si commette un errore più grande considerando la carica tutta sul satellite piuttosto che considerando la carica a distanza d nulla. Avrebbero dovuto dare, ammesso che il problema sia stato pensato considerando di approssimare tutta la carica sul satellite, tra i dati in questo modo si poteva essere sicuri di non approssimare in modo troppo grossolano considerando la carica tutta sul satellite viste le dimensioni in gioco

[modesto]

Siccome, assumendo l'origine della ascisse nel loro baricentro risulta che l'ascissa del centro di è una frazione trascurabile di così come la velocità e l'accelerazione del satellite sono trascurabili rispetto a quelle della sfera tanto da poter considerare il satellite fermo.
1ma risposta: la carica q, supposta positiva, induce sulla superficie semisferica satellitare prossima la carica di segno opposto e sulla superficie semisferica lontana . q viene chiaramente più attratta che respinta da queste due cariche (forza attrattiva fra satellite e sferetta). Secondo la teoria delle immagini, per rendere equipotenziale la superficie del satellite, tutto va come se fossero puntiformi e dislocate sulla congiungente i due centri, nel centro del satellite quella positiva e a distanza dal centro quella negativa: valgono e costituiscono una specie di dipolo elettrico nel cui campo è la sfera carica .
1. A distanza la forza di attrazione esercitata su q dalle immagini risulta allora
con . Riducendo allo stesso denominatore ed imponendo la condizione si può porre
e quindi l'energia potenziale
Per d=R+r, a distanza infinitesima dall'urto e dal contatto, abbiamo invece con , dato che .
Pertanto nel passaggio da ad la carica q perde energia potenziale che si trasforma in energia cinetica e, dopo l'urto anelastico, in calore Q. E' allora
dove j è l'equivalente meccanico della caloria.
Inoltre con l'urto si annulla con la carica indotta sulla superficie semisferica satellitare con cui viene a contatto e pertanto sulla superficie satellitare e della sferetta attaccata rimane la carica che era stata indotta sull'altra semisfera. La conclusione è che passa dalla superficie sferica di raggio a quella di raggio - fra cui c'è la ddp . Tutto va come se avessimo un conduttore sferico, compreso fra quelle sfere supposte concentriche, a resistività e q andasse da una superficie all'altra. Viene dissipata la quantità di calore dove è la resistenza elettrica di questo conduttore-satellite. Considerando due superfici sferiche di raggio ed comprese fra quelle di raggio ed , la resistenza infinitesima del tratto è . Integrando fra ed si ottiene
A conti fatti, con R>>r, risulta che va aggiunta a Q.
( Proseguo nel post successivo)

[modesto]

(seguito proposta di soluzione)
2. Se la sferetta ha una piccola velocità, essa deve entrare in un'orbita ellittica, interna alla corrispondente orbita circolare e passante internamente al satellite (l'orbita non la sferetta): per es. quella con asse maggiore e fuoco nel centro del satellite. Seguendo questa orbita la sferetta va ad impattare il satellite in un punto I che ovviamente dista R dal centro del satellite e dove quindi l'energia potenziale della sfera è quella dell'impatto precedente: infatti il dipolo delle cariche immagine è sempre orientato verso la sfera che orbita, anche quando questa impatta il satellite. L'energia totale in è ora e quella all'impatto I è . La quantità di calore che si sviluppa nell'urto anelastico corrisponde proprio a quest'ultima energia cinetica cioè

che va aggiunta a sviluppatasi anche ora per effetto Joule.
3. La velocità deve essere così piccola che la relativa orbita ellittica, con fuoco lontano considerabile nel centro della sfera satellitare, passi all'interno del satellite. Sicuramente questa velocità deve essere inferiore a quella del punto successivo competente a quella dell'orbita circolare.
4. La velocità dell'orbita circolare è quella individuata dall'uguaglianza della forza centripeta con la forza di attrazione ovvero . La semisfera satellitare carica negativamente per induzione (e quella positiva) ruota insieme alla sfera in modo che il dipolo virtuale rimane sempre orientato con la carica negativa (quella positiva è nel centro del satellite) verso la sfera a carica q. Le due cariche virtuali sono vicinissime distando e la negativa ruota attorno alla positiva con lo stesso periodo della sfera carica q.
Quest'ultima, muovendosi di moto circolare uniforme, subisce l'accelerazione centripeta. Una particella carica accelerata dovrebbe emettere radiazione elettromagnetica (si intuisce che il suo campo elettrico variabile genera un campo magnetico ecc.) e quindi, anche se in un tempo molto lungo viste le grandezze in gioco, dovrebbe spiraleggiare sul satellite riproducendo le quantità di calore calcolate: come doveva fare l'elettrone con il nucleo dell'atomo secondo la fisica classica?

[Gabry]

Ho letto solo il primo post della soluzione, ma non sono d'accordo sul calore dissipato dopo al contatto. Se non ho capito male consideri semplicemente il passaggio della carica q dalla sfera al satellite, ma dopo il contatto c'è anche un importante rimescolamento delle cariche all'interno del satellite che dà comunque un contributo per l'effetto joule. Io avrei considerato semplicemente l'energia iniziale finale (infatti non capisco perchè considerare prima la conservazione dell'energia per un pezzo del problema e considerare macchinosamente l'effetto joule dopo). Non ho capito bene invece ciò che consideri avvenga prima del contatto: sul satellite sono ancora presenti due cariche?

[modesto]

Ho letto solo il primo post della soluzione, ma non sono d'accordo sul calore dissipato dopo al contatto. Se non ho capito male consideri semplicemente il passaggio della carica q dalla sfera al satellite, ma dopo il contatto c'è anche un importante rimescolamento delle cariche all'interno del satellite che dà comunque un contributo per l'effetto joule. Io avrei considerato semplicemente l'energia iniziale finale (infatti non capisco perchè considerare prima la conservazione dell'energia per un pezzo del problema e considerare macchinosamente l'effetto joule dopo). Non ho capito bene invece ciò che consideri avvenga prima del contatto: sul satellite sono ancora presenti due cariche?

Il passaggio di q dalla sfera al satellite è per me la conclusione che conta e questo avviene con produzione di calore dato che la carica q come ho scritto passa da un potenziale maggiore ad un potenziale minore e QUINDI PERDE ENERGIA POTENZIALE che si trasforma in calore (come chiede di trovare il testo, che parla di calore prodotto NEL PROCESSO e quindi non solo nell'urto): anche qui ho applicato la CONSERVAZIONE DELL'ENERGIA contrariamente a come pensi tu! Perchè nell'effetto Joule l'energia non si conserva? Semmai come si sa non si conserva quella elettrica...
Eppoi non c'è nessun rimescolio! Ho riletto i miei post e non capisco nè il rimescolio nè l'ultima domanda sulle due cariche sul satellite prima dell'urto-contatto.
Ribadisco per l'ennesima( ed ultima) volta che PRIMA dell'urto nel processo reale la carica q (per es. positiva)sulla sfera induce sulla superficie sferica satellitare DUE cariche opposte: sulla superficie semisferica più vicina e su quella più lontana. Come avviene nel noto fenomeno dell'induzione elettrostatica, in modo da rendere EQUIPOTENZIALE la superficie del satellite-conduttore. Esse sono rappresentate dalle due cariche immagine, a quelle distanze che hai scritto anche tu, nel processo virtuale. Sei stato proprio tu che hai introdotto la teoria delle immagini. Ma cosa rappresentavano allora le tue immagini virtuali? Non potevano che rappresentare, come vuole la teoria, le due cariche opposte indotte sulla superficie.
All'atto del contatto la carica negativa indotta sulla superficie urtata si annulla con quella q della sfera che urta e sulla superficie del satellite+sfera attaccata rimane q.
Ma dov'è il RIMESCOLIO?