sns 2011 n.1

[Omar93]

N formiche sono inizialmente poste ai vertici di un poligono regolare di N lati di lunghezza L. A un certo istante esse iniziano a muoversi tutte con velocità di modulo v costante e puntando istante per istante verso la posizione della formica più vicina in senso antiorario come inseguendola,continuando fino a che non si trovano tutte nel centro del poligono.
In quanto tempo avvience ciò,e quante volte ogni formica ha infine girato intorno al centro?


Posizioniamoci nel sistema di riferimento di una formica:questa vede avvicinarsi quella che la insegue ad una velocità(costante in modulo e verso) pari a : ,dove è l'angolo al centro che sottende un lato qualunque in qualsiasi istante(perchè infatti dovrebbe cambiare?).
Quindi :
Ugualmente si potrebbe arrivare al risultato dicendo che in ogni istante le nostre formiche si trovano su una circonferenza,diciamo di raggio R,e che la velocità v è composizione di una velocità tangenziale,che cambia in verso con il passare del tempo,ed una radiale.
Quella radiale è costante in modulo e verso e vale: ,
Detto il raggio iniziale si ha:

Quella tangenziale invece ci permette di dire quanti giri facciamo: essendoci in ogni istante un modo circolare ho che la velocità angolare in un dato istante dipendentemente dal raggio è:



n il numero di giri è

A me alla fine viene un argomento negativo per il logratimo che salta fuori,quindi che sono infiniti?

[modesto]

Se ti può interessare la soluzione era stata postata già il 29 agosto scorso da majorana e c'era stata una discussione che puoi controllare sul sito.

[Omar93]

ok grazie.

[Omar93]

Ma quindi intergale infinito vuol dire argomento negativo?

[Pigkappa]

Esplicitate i conti; trovare il logaritmo di un numero negativo è sempre spiacevole. Che il risultato venga infinito è possibile, ma non in quel modo.

[modesto]

Volevo osservare che la funzione integranda mi sembra che diverga in un estremo di integrazione e quindi prima di pensare al logaritmo e al suo argomento uno si dovrebbe domandare se l'integrale esiste. Ma secondo me è inutile.
Infatti si chiede quante volte ogni formica gira attorno al centro, ovviamente nel tempo . Per dare il risultato basta osservare che , proporzionale al numero di giri al secondo (frequenza), è inversamente proporzionale a r: quest'ultimo tende a zero e, con la stessa velocità, tende all'infinito - così come la frequenza.
Mi sembra una dimostrazione abbastanza rigorosa che, pertanto, il numero di giri sia, alla resa dei conti, infinito.