Simulazione di Senigallia - Le soluzioni

Messaggio da **Pigkappa** » 9 apr 2009, 21:26

Qui potete postare le vostre soluzioni (anche parziali) ai problemi della simulazione.

Messaggio da **memedesimo** » 10 apr 2009, 21:48

Se vi sembra meno faticoso potete anche scannerizzare quelle scritte a mano e allegarle...

Alex90 · Messaggio da **Alex90** » 10 apr 2009, 22:48

Penso che la fatica più grande sia risolverli

Alex90 · Messaggio da **Alex90** » 10 apr 2009, 23:18

3.1 Un circuito a forma di cubo

La prima cosa da notare è che la resistenza presenta molte simmetrie tra i suoi rami, ovvero partendo da un vertice qualsiasi si nota subito che la resistenza si divide in 3 rami, da ognuno di essi partono altri 2 rami che poi si ricollegano in modo alternato su gli ultimi 3 rami della resistenza che terminano nel vertice opposto a quello di partenza.
Pertanto sia $i$ la corrente che passa nel circuito, seguiamo il suo percorso:

inizialmente si divide in 3 rami identici, quindi in ogni ramo scorrerà una corrente $i/3$
poi ognuno di questi rami si divide in 2 parti identiche, quindi in ognuna di esse scorrerà $i/6$
proseguendo ancora questi rami si ricongiungono a 2 a 2 negli ultimi rami in cui ci sarà dunque ancora una corrente $i/3$ (un'ulteriore conferma di ciò è appunto il fatto che il sistema è simmetrico).

Quindi percorrendo 3 rami qualsiasi in serie da un vertice A a quello opposto B si ha che che:
$i_1=i/3$ , $i_2=i/6$ e $i_3=i/3$

Perciò $V_{AB}=i_1 R + i_2 R + i_3 R= 5/6 i R = V = i R_{eq} \Rightarrow R_{eq}= 5/6 R$

è giusto?

p.s. sbaglio o è tratto dall'Halliday?

Alex90 · Messaggio da **Alex90** » 10 apr 2009, 23:34

3.2 Una lente magnetica

Scomponiamo anzitutto il vettore velocità $v$ lungo le componenti x e y.
Si ha $v_x=v \cos\theta$ e $v_y=v \sin\theta$

Dopo aver percorso il tratto $l$ si ha
$v_x=v \cos\theta$ e $v_y= - v \sin\theta$

Quindi la quantità di moto del fascio è variata di una quantità

$\Delta p = m \Delta v = F \Delta t = 2mv\sin\theta$

La Forza è la Forza di Lorentz:

$F=qvB$ in quanto $v$ e $B$ sono perpendicolari

$\Delta t$ è il tempo necessario a percorrere l'arco di circonferenza ma che, dal momento che $\theta << 1$ questo coincide sostanzialmente con il tratto $l$ , perciò

$\Delta t \approx l / v$

Perciò:

$\displaystyle 2mv\sin\theta = qvB \cdot l / v \Rightarrow \sin\theta \approx \theta = \frac{q B l}{2 m v}$

per la seconda parte ci sto ancora pensando...questa intanto va bene?

Alex90 · Messaggio da **Alex90** » 11 apr 2009, 14:42

Il risultato della gittata del primo problema è

$\displyatyle x(t)=\frac{2\sqrt{h_o \cdot H}}{\sqrt{1+A_1 / A_2 \cdot g t}}$

?

CoNVeRGe. · Messaggio da **CoNVeRGe.** » 11 apr 2009, 15:32

3.1 Un circuito a forma di cubo.
Supponiamo che una corrente $\displaystyle i$ attraversi il circuito entrando da un vertice $\displaystyle A$ e uscendo da quello $\displaystyle B$ opposto ad $\displaystyle A$ rispetto al centro del cubo.
Le resistenze $\displaystyle R$ uguali per ogni spigolo ci permettono di usufruire della simmetria del cubo, nel senso che qualsiasi spigolo percorriamo da $\displaystyle A$ ci veniamo a trovare sempre in una situazione identica, dalla quale percorrendo due altri spigoli usciamo dal cubo giungendo in $\displaystyle B$ .
Se chiamiamo $\displaystyle A'$ i vertici contigui ad $\displaystyle A$ possiamo quindi affermare che ogni spigolo $\displaystyle AA'$ è percorso da una corrente $\displaystyle i/3$ perchè nessuno di questi ha priorità sugli altri.
Chiamiamo $\displaystyle B'$ i vertici contigui a $\displaystyle B$ . Sempre per simmetria ogni tratto $\displaystyle A'B'$ è percorso da una corrente $\displaystyle i/6$ e infine ogni tratto $\displaystyle B'B$ da una corrente $\displaystyle i/3$ .
Il cubo di resistenze è l’equivalente di tre resistenze in serie, costituite a loro volta da resistenze in parallelo: i tratti $\displaystyle AA'$ , $\displaystyle A'B'$ e $\displaystyle B'B$ possono essere considerati a tutti gli effetti in serie tra loro, poi la resistenza del tratto $\displaystyle AA'$ è l’equivalente di 3 resistenze $\displaystyle R$ in parallelo, $\displaystyle A'B'$ 6 resistenze in parallelo, $\displaystyle B'B$ di nuovo 3 resistenze.
Riassumendo:
$\displaystyle R_{cubo} = R_{AA'} + R_{A'B'} + R_{B'B} = R/3 + R/6 + R/3 = R 5/6$

Ho anche trovato la lunghezza focale del problema 3.2, che posterò stasera se ci sarò, ora sto uscendo.

$\displaystyle f = \frac{mv}{2q \theta B}$

Posso sapere se son corretti anche i risultati del secondo problema? E' lungo e non potrei scriverlo se sbagliato..

(non ho uno scanner)
Mi vengono: 2. L = 9,55 kJ, 3. Q = 39,55 kJ, 5. L = 12,65 kJ

(NB: ovviamente se ne ho sbagliato uno, li ho sbagliati tutti! Perchè tutto il problema sta in quella compressione del vapore acqueo :/ )

pascal · Messaggio da **pascal** » 11 apr 2009, 21:16

Il metodo dei minimi quadrati applicato ai dati in tabella porta ad
una relazione lineare decrescente x = A + B t, con A = 121,77 cm
e B = - 0,6386 cm/s.

Ti prego Pigkappa di non considerarmi concorrente.

pascal · Messaggio da **pascal** » 11 apr 2009, 22:19

$Portata = -\frac{dVolume}{dt}=-A_2 \frac{dh}{dt}= A_1 v$

$h=\frac{v^2}{2g}$

$\frac{dh}{dt}=\frac{v}{g}\frac{dv}{dt}$

$\frac{dv}{dt}=-\frac{gA_1}{A_2}$

$v = v_0 -\frac{g A_1 t}{A_2}$

$x = \sqrt{\frac{2H}{g}} \ v$ .

CoNVeRGe. · Messaggio da **CoNVeRGe.** » 11 apr 2009, 22:48

3.2 Una lente magnetica.
Il fascio entra ed esce dal magnete con un piccolo angolo $\displaystyle \theta$ rispetto all'asse x e in due punti di coordinata y=0 (come vediamo dal disegno 6).
All'istante dell'ingresso ha velocità $\displaystyle v$ parallela al piano e si mantiene approssimativamente tale (perchè il fascio viene leggermente deflesso in direzione parallela al piano XZ, ma questo è trascurabile ai fini del calcolo dell'angolo).
Il fascio percorre, sotto l'azione della forza di Lorentz come forza centripeta, una breve traiettoria circolare di raggio $\displaystyle R$ .
$\displaystyle \vec{F} = q \vec{v} \wedge \vec{B} = qvB = F_{centr.} = mv^2/R$
Da cui:
$\displaystyle R = \frac{mv}{qB}$
Ci si accorge subito che il centro della circonferenza è sull'asse y e che l'angolo $\displaystyle \theta$ non è altro che la metà dell'angolo che il centro forma con i punti di ingresso e uscita del fascio dal magnete.
$\displaystyle \sin \theta \approx \theta = l/2R$ perchè $\displaystyle \theta << 1 rad$
Unendo le equazioni trovate:
$\displaystyle \theta = \frac{qlB}{2mv}$

Prendiamo ora una particella del fascio che entra nel campo magnetico ad un'altezza $\displaystyle z=k$ , con k>0 per convenienza.
Per un breve tratto $\displaystyle b$ è soggetta ad una forza di Lorentz verso il basso variabile perchè ha una componente di velocità $\displaystyle v_y = v \sin \theta \approx v \theta$ che permette alla componente $\displaystyle B_x$ del campo magnetico di bordo di influire sulla traiettoria.
Tale campo dipende dalla coordinata z secondo la formula $\displaystyle |B_x| = B |z|/b$ e quindi dovrebbe aumentare mano a mano perchè la traiettoria viene abbassata riducendo la coordinata z della particella.
Poichè tale deflessione è molto piccola il campo puo ritenersi costante per il breve tratto e cosi anche la forza.
$\displaystyle F = qv\theta B k /b = mv^2 / R \Rightarrow R = \frac{mvb}{q \theta B k}$
L'angolo di deflessione $\displaystyle \alpha$ è tale che:
$\displaystyle R \alpha = b$
Quindi:
$\displaystyle \alpha = \frac{q B k}{mv} \theta$

La particella attraversa ora tutto il magnete giungendo all'altro campo di bordo ad una coordinata $\displaystyle k' = k - l \tan \alpha \approx k - l \alpha$ .
Il nuovo angolo di deflessione è:
$\displaystyle \delta = \frac{q B k'}{mv} \theta$
Uguale a sopra, perchè anche adesso $\displaystyle |v_y| = v \theta$ e $\displaystyle B_x$ orientato in modo da abbassare il fascio.

La deflessione totale in uscita dal campo di bordo è quindi $\displaystyle \alpha + \delta$ .
Il fuoco non è altro che il punto in cui tale particella incontra l'asse x, per cui:
$\displaystyle f = \frac{k'}{\tan (\alpha + \delta)} \approx = \frac{k'}{\alpha + \delta} = \frac{k' mv}{q \theta B (k + k')}$
Per risolvere la dipendenza da $\displaystyle k$ si assume $\displaystyle k = k'$ e quindi, sostituendo l'espressione di $\displaystyle \theta$ :

$\displaystyle f = \frac{m^2v^2}{q^2B^2l}$

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