Le stagioni di una volta...

[Stardust]

In accordo con le tematiche ambientali recentemente tornate alla ribalta della cronaca, propongo un problema non troppo complesso ma con risultati davvero importanti.
E' noto che l'inizio della stagione climatica "percepita" è sfasato rispetto al suo inizio astronomico e si vuole creare un modello semplice che descriva in linea di massima quanto la Terra è veloce a reagire alla variazione di energia ricevuta dal Sole.
La "nostra" stella emette energia dando alla Terra un'intensità di calore che segue l'andamento


con , fattore correttivo per smorzare la variazione di irraggiamento, .
Si ricordi che la potenza emessa in funzione della temperatura è secondo la legge di Boltzmann e si usino i seguenti dati:
-capacità termica della Terra:
-temperatura della Terra in funzione del tempo: con .

Ricavare la funzione e trovare lo sfasamento , che indica quanto ci mette il pianeta a raggiungere un picco di temperatura dopo un massimo dell'emissione solare. (In realtà vale più in generale, è solo un esempio dell'utilità di ).


PS: è utile ricordare che .

[Ippo]

PS: è utile ricordare che .

Più che altro direi che è inutile introdurre la notazione complessa, facciamo direttamente
Problema interessante comunque!

[Stardust]

PS: è utile ricordare che .

Più che altro direi che è inutile introdurre la notazione complessa, facciamo direttamente
Problema interessante comunque!

Ok, era solo per usare qualcosa di più particolare (e poi per le equazioni differenziali sono decisamente più comodi gli esponenziali ).

@spn: alla fonte ci pensa la Fisica

[Rigel]

Metto la soluzione di questo problema sia perché è carino sia perché usa un metodo interessante.
Il bilancio dell’energia ci dice che , dove è la costante di Stefan-Boltzman.
Supponiamo di essere in condizioni stazionarie, cioè con . Allora e quindi .
Ora siccome , possiamo supporre che il termine dipendente dal tempo nella temperatura sia piccolo rispetto a . Quindi possiamo approssimare al primo ordine , dove è della forma . Questa tecnica si chiama metodo perturbativo: non sapendo risolvere esattamente l’equazione differenziale che abbiamo, la risolviamo in un caso semplice e ci aggiungiamo dei termini correttivi. Quello che vogliamo trovare noi è . Andando a sostituire si trova . Sviluppando seni e coseni e imponendo che l’equazione valga per ogni t, si trova e usando i valori corretti e , si ha , che corrisponde ad un ritardo di circa 52 giorni, cioè poco più di un mese e mezzo.
Volendo potete provare a stimare , cioè l’ampiezza dell’oscillazione della temperatura nel corso dell’anno. Per fare questo serve stimare . Un valore ragionevole è che sia pari a , cioè il seno dell’angolo di inclinazione dell’equatore rispetto all’orbita terrestre.