306. Catena che cade

[Giulio]

Una catena metallica, inestensibile ma flessibile, di lunghezza e massa pende verticalmente dal soffitto, con l'estremità inferiore che sfiora il piatto di una bilancia-dinamometro. Improvvisamente, la catena viene sganciata dal soffitto e comincia a cadere verticalmente, posandosi gradualmente sulla bilancia.
1) Detta la quota della sommità della catena, determinare in funzione di , e il modulo della forza che la bilancia esercita sulla catena.
2) Sapendo che, nell'istante immediatamente precedente a quando l'ultimo anello della catena tocca la bilancia (ovvero quando è quasi 0), la bilancia mostra sul suo schermo una massa di , determinare la massa reale della catena.

[Francesco Leccese]

Non è
F = (L-y)Mg/L
? Mi scuso per non aver utilizzato La Tex, sono da mobile.
Mi sembra troppo semplice. Ci sono da considerare la differenza di quantità di moto tra un anello e l'altro?

[Giulio]

No, non è quella la risposta. Sì, bisogna considerare che il secondo principio della dinamica non può essere usato direttamente come , dato che la massa accelerata in ogni istante è meno che nell'istante prima. Come si fa quindi?

[Higgs]

Io avevo pensato alla legge di Newton per sistemi a massa variabile dato che v=gt per cui (dv/dt)=g. Secondo la mia concezione abbiamo una parte fissa corrispondente al peso della catena e una parte che varia con la massa corrispondente all'impulso costituito dal trasferimento della quantità di moto dalla catena al dinamometro. Facendo i conti mi verrebbe una perdita di massa in caduta proporzionale al tempo. Può essere una strada?

[Giulio]

Questa è la strada, ma attenzione a due cose: 1) quante forze agiscono sulla catena? ovviamente non è l'unica. 2) Attenzione alle diverse masse. La che compare nella formula che hai scritto ovviamente non è , ma la massa non sparisce, ma rimane sulla bilancia.

Secondo la mia concezione abbiamo una parte fissa corrispondente al peso della catena e una parte che varia con la massa corrispondente all'impulso costituito dal trasferimento della quantità di moto dalla catena al dinamometro.

Esatto, questa è un'altra strada valida.

Facendo i conti mi verrebbe una perdita di massa in caduta proporzionale al tempo.

Corretto.

[Francesco Leccese]

Espongo il mio procedimento per il primo punto.
Sia la massa in aria. Allora è la massa sulla bilancia.
A questa è dovuta una parte della forza totale:

vale:

Quindi:

A questa va aggiunta la componente dovuta all'impulso:

con

Poiché

si può scrivere

Da cui la sua derivata temporale:

Tuttavia, poiché la velocità è diretta verso il basso, nel nostro sistema di riferimento essa è negativa. Quindi:

Quindi:

Infine, per la forza totale:

[Giulio]

È tutto giusto, tranne il segno di . Infatti quella forza è verso l'alto, e quindi è positiva: dato che gli oggetti stanno cadendo hanno quantità di moto negativa, quindi occorre una forza positiva per frenarli.
In particolare quando scrivi

non stai considerando, nell'ultimo passaggio, che il segno di è negativo ().
Il segno di invece è corretto: per equilibrare il peso degli anelli sulla catena che si trovano già sulla bilancia, ovviamente quella forza dev'essere rivolta verso l'alto.
Correggendo quel segno otterrai la risposta del punto 1).

[Francesco Leccese]

Grazie.
Quando torno a casa modifico quel messaggio e inizio a pensare al punto 2.
Però ho un dubbio: il risultato al punto 1, così, è

Il che dà, per , , che è il triplo di quanto mi aspetto. Perché?

[Giulio]

E invece quella è la risposta giusta! È molto interessante quel fattore 3...

[Francesco Leccese]

Immaginavo fosse la peculiarità del problema.
Interessante!
Ora sono a casa e posso studiare il secondo punto