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Un corpo di massa si trova su un piano orizzontale senza attrito, in posizione . Una forza costante lo spinge per un tempo lungo .

1. Determina, al tempo , la posizione del corpo, la sua velocita', e il lavoro fatto dalla forza. Esprimi i risultati in termini di , , .

Vogliamo costruire un modello per una forza impulsiva che agisce su un corpo. Il caso precedente e' quello di una forza costante che agisce per un tempo , ma un modello di forza impulsiva piu' realistico non sarebbe costante.

2. Proponi una formula per una forza impulsiva in funzione del tempo che abbia queste caratteristiche: e' zero per e , e' crescente per , e' simmetrica rispetto a , ed il suo valor medio tra e e' .

3. Per la forza che hai proposto, dimostra che valgono nuovamente i risultati del punto 1.

4. Dimostra che questi risultati valgono per qualsiasi forza che soddisfa le condizioni del punto 2.

1.


2.
Ho fatto anche il terzo punto con le integrazioni ma vorrei sapere se sono sulla strada giusta altrimenti ne cerco un'altra....

L'1 e' giusto.

Il 2 non proprio... La media di quella forza mi pare sia 0, non .

Quando vuoi fare il "per" in latex si capisce meglio se usi "\cdot" (=centered dot) oppure "\times", invece del punto, che compare in basso.

Pigkappa ha scritto: ↑

5 dic 2022, 19:21

L'1 e' giusto.

Il 2 non proprio... La media di quella forza mi pare sia 0, non .

Ma come? Se lo dice il testo che il valor medio è . Scusa ma forse non ho capito bene il testo. Pensavo che la F(t) dovesse avere le caratteristiche date fra cui il valor medio che a me sembra nell'intervallo

Errore mio, avevo fatto il grafico della tua funzione a mente e lo avevo fatto sbagliato, chiedo scusa; giusto anche il 2.

Plottando, si vede che la funzione va bene:

La media e' base per altezza diviso 2 ed e' .

Una delle mie funzioni di prova era la stessa tua, ma la avevo scritta come:


Btw un modo per imparare gradualmente un po' di latex (che si usa per scrivere articoli e tesi di fisica e matematica) e' guardare i comandi scritti da altri. Se premi il pulsantino "rispondi citando" in alto a destra nei messaggi di qualcuno (io lo vedo solo al pc, non su telefono), puoi "citarli" e nel fare questo ti viene mostrato quel che hanno scritto, e cosi vedi il codice sorgente latex.

3. Accertato che è il valor medio di F(t) si può procedere per il valore iniziale di è nullo e quello in è per cui la media di è propriocome in 1. Analogamente viene lo stesso risultato per . Considerando poi che è nullo per t=0 e,sfruttando il valor medio di , è in per cui ha un valor medio lo stesso risultato di 1. Infine il lavoro , considerando il valor medio di F(t), può scriversi come al punto 1.
4. Una qualunque F(t) che soddisfi alle condizioni 2, si presenta come una forza conservativa, nel senso che il suo lavoro non dipende dal suo grafico ma solo dai suoi valori estremi che sono identici a quelli della F(t) proposta in 2. Pertanto può essere usata come quella considerata.

Non mi trovo... Ti scrivo il perche' e ti mostro come avrei fatto il conto io con la tua funzione, per una sola delle domande.

bosone ha scritto: ↑

8 dic 2022, 11:33

per , il valore iniziale di è nullo e quello in è per cui la media di è proprio come in 1

La media su un intervallo di lunghezza e' per definizione ; non e', in generale, la media aritmetica tra valore minimo e valore massimo. Se aumenta linearmente nel tempo, allora e' anche vero che . Ma nel caso della tua accelerazione , la velocita' non aumenta linearmente nel tempo. Per , la velocita' vale . La velocita' in e' , nota che mi viene piu' piccola della tua di un fattore 4 (inoltre la tua velocita' a nella domanda 3 e' uguale al tuo risultato a nella domanda 1; questo sembra un campanello di allarme dato che l'accelerazione e' sempre positiva). La media tra velocita' iniziale e velocita' finale e' . Ma la velocita' media in questo intervallo e' diversa:



Il fatto che e' corretto. Il corpo riceve piu' accelerazione verso la fine dell'intervallo di tempo che all'inizio, quindi passa piu' tempo in uno stato di bassa velocita' rispetto a come farebbe se fosse accelerato linearmente, quindi la velocita' media sara' piu' bassa.

Io avrei risolto il punto 2 pensando gia' al punto 3, perche' e' chiaro che questa funzione andra' integrata (due volte), quindi scegliere una funzione a tratti introduce piu' dolore che scegliere una funzione trigonometrica, o un pezzo di parabola. Comunque, con la tua funzione, io avrei fatto il conto cosi'.

Abbiamo gia' dimostrato per che .
Se :

Si fanno i conti brutti e mi viene:

Per il tempo basta sostituire: . Ma ho calcolato generica perche' per calcolare lo spostamento serve averla calcolata.

bosone ha scritto: ↑

8 dic 2022, 11:33

una forza conservativa, nel senso che il suo lavoro non dipende dal suo grafico ma solo dai suoi valori estremi

Haha la gioia di inventarsi i teoremi. Purtroppo essere conservativa non vuol dire quello.

Una forza e' conservativa se il lavoro che fa su un corpo che si muove da a e' lo stesso per tutte le possibili traiettorie che portano il corpo dal primo al secondo punto. Questo non vuol certo dire che conta solo e e il valore di in tutti gli altri punti non conta! Ne' che contano solo il massimo e il minimo di .

L'altro fatto da ricordarsi sulle forze conservative e' che, se l'effetto di una forza puo' essere espresso tramite una energia potenziale (ad esempio l'energia potenziale gravitazionale, o quella del campo elettrico, o l'energia potenziale elastica), allora la forza e' sicuramente conservativa.

In una dimensione, qualsiasi forza che dipende solo dalla posizione e' conservativa. Nota bene che questo non vale per la forza di attrito, perche' quella non dipende solo dalla posizione, ma anche dalla velocita' del corpo su cui agisce.

1.2.3. Ti ringrazio davvero per la cura e la precisione con cui mi hai risposto. Ma io sono entrato in una vera tempesta intellettuale nel senso che probabilmente c'è un equivoco di fondo nei miei concetti e nella mia interpretazione del testo: io ho preso i come se fossero intervalli infinitesimi per i quali sarebbe lecito calcolare il valor medio con il mio procedimento come approssimazione legittima; mentre giudicavo una contraddizione in termini parlare di integrazione perchè l'integrale in un intervallo infinitesimo è analogo ad un differenziale cioè appunto . Ora sta di fatto che con questo metodo ho ottenuto nel 3. i valori di 1. come era richiesto e che mi avevi approvato (e non perchè li ho voluti per forza far tornare).
4. Non ho detto che l'ipotetica F(t) è conservativa ma che, dato che il suo lavoro non dipende dal suo grafico ma solo dagli estremi (che sono quelli della mia F(t)), si comporta come una forza conservativa per cui come dici il lavoro non dipende dal particolare percorso ma solo dagli estremi. E ora? Chiedo tempo per riflettere. Intanto se hai osservazioni su quanto dico continuando nei fraitendimenti, ti prego di farmele

Ok... Il delta t è da intendersi non infinitesimo qua. È vero che una forza impulsiva di solito agisce in un tempo molto più piccolo di tutti gli altri tempi scala del sistema studiato, ma in questo problema consideriamo proprio cosa succede durante l'urto, quindi non ci sono tempi scala più lunghi.