SNS 2022/4 - Corpo nero

[bosone]

Un corpo nero assorbe senza riflettere tutta la radiazione incidente sulla sua superficie e contemporaneamente irradia una potenza pari a , dove A è l'area, T è la temperatura in Kelvin e è la costante di Stefan-Boltzmann.
Una lastra circolare con spessore trascurabile rispetto al raggio si comporta come un corpo nero ed ha una delle due facce costantemente illuminata in modo tale da assorbire sulla sua area A una potenza per unità di superficie P. In condizioni di equilibrio la faccia illuminata e la faccia non illuminata hanno temperature rispettivamente e e c'è un flusso costante di calore dalla faccia illuminata alla faccia non illuminata.
Si determinino e in funzione degli altri parametri nell'approssimazione usando un modello semplice e ragionevole con un coefficiente opportuno per la conduzione del calore nella lastra.

(C'è qualche concorrente che nell'agosto scorso ha risolto questo esercizio?)

[Torros]

Premettendo che non ho partecipato alla prova, volevo approfittare dell'apertura dell'argomento per qualche domanda sul problema.
1) Per la determinazione di T1 e T2 bisogna uguagliare a zero la potenza netta della prima faccia e la potenza netta della seconda faccia? Se sì, a cosa serve l'approssimazione fornita dal testo?
2) Cosa vuol dire "con un coefficiente opportuno per la conduzione del calore nella lastra"? Bisogna forse fornire un possibile valore del coefficiente del materiale? E a che scopo, visto che, anche conoscendo il materiale, non siamo in possesso degli altri dati numerici (la potenza P, l'area A,...) per fornire un valore a T1 e T2? Bah

[Pigkappa]

Il testo dice "si determinino ... in funzione degli altri parametri". Non si stanno cercando valori numerici, si stanno cercando solo formule.

Quando il testo dice "con un coefficiente opportuno per la conduzione del calore nella lastra", sta praticamente indicando che le variabili definite nel testo, ovvero potenza ed area , non bastano; nelle formule deve comparire un altro coefficiente. Gli autori del problema non vogliono dirti esattamente che variabile fisica e', si aspettano tu sia in grado di definire un parametro sensato, e ti danno l'indizio che c'entra con la "conduzione del calore nella lastra".

In pratica, devi definire un coefficiente di diffusione nel materiale, che collega la variazione di temperatura con il flusso di calore:


E l'intuito mi dice che il risultato dipendera' anche dallo spessore della lastra, per cui inizialmente introdurrei anche questo parametro. Alla fine, se proprio vogliamo dire che abbiamo introdotto una sola variabile aggiuntiva come richiesto dal testo, penso troveremo che il risultato dipende solo dal rapporto e non dalle due variabili singolarmente, quindi potremmo chiamare e dire che questa e' la variabile che abbiamo introdotto.

Il testo ti da' anche un'altra approssimazione: "spessore trascurabile rispetto al raggio" serve a trascurare effetti di bordo e considerare il problema unidimensionale.

[bosone]

Ma la potenza trasmessa per conduzione alla piastra non illuminata viene irraggiata alla temperatura mentre la potenza acquisita dalla fasia illuminata meno quella trasmessa per conduzione viene irraggiata alla temperatura o no?

[Torros]

Grazie Pigkappa, mi sembra chiaro. In pratica suggerisci di usare la formula di Fourier per il caso di staticità e rinominare "" il rapporto tra e . "" sarebbe dunque "l'opportuno coefficiente".
Per quanto riguarda la tua domanda Bosone credo proprio che funzioni come hai detto. Avevo anche pensato ad un "irradiamento medio" (passami la brutta espressione) dato dalla temperatura media del corpo nero, ma temo non sia molto funzionale per determinare le delle due facce.

[bosone]

Se condividi l'impostazione devo sottoporti un tipo di soluzione che potrebbe essere in contraddizione con l'intuito di Pigkappa e quindi non corretta. Seguendo il suggerimento di Pigkappa su Fourier si avrebbero le seguenti equazioni
per la faccia illuminata: PA - = con inessenziale esprime il fatto che la faccia illuminata irradia la potenza assorbita meno quella trasmessa per conduzione alla faccia non illuminata
per la faccia non illuminata: = esprime il fatto che la faccia non illuminata irradia tutta la potenza assorbita per conduzione dalla faccia illuminata. Partendo da quest'ultima, eliminando A e dividendo ambo i membri per essa assume la forma

Ora L è sicuramente <<1 m ovvero numericamente equivalente, come dice il testo, alla frazione delle temperature: quindi pensavo che il loro rapporto numerico può porsi uguale a 1 e si può ricavare come
. Cozza questa conclusione con il suggerimento di Pigkappa? Penserei di si perchè le soluzioni vengono a dipendere da e non da .
Sostituendo infatti nella equazione della faccia illuminata, con lo stesso procedimento, si ricaverebbe

Che ne pensate? Non è corretto uguagliare numericamente la frazione delle temperature con lo spessore della lastra?

[Torros]

L'impostazione del problema credo sia giusta, ma la semplificazione credo non sia corretta.

Ora L è sicuramente <<1 m ovvero numericamente equivalente, come dice il testo, alla frazione delle temperature: quindi pensavo che il loro rapporto numerico può porsi uguale a 1 e si può ricavare

non è sicuramente minore di un metro. Il testo dice "Una lastra con spessore trascurabile rispetto al raggio". Non abbiamo alcuna idea della lunghezza del raggio della lastra (per quel che ne sappiamo potrebbe essere dell'ordine delle decine di migliaia di chilometri e perciò uno spessore che si possa definire "trascurabile" rispetto a tale raggio potrebbe essere di 100 m). In più non sarebbe possibile semplificare lo spessore con il rapporto tra le temperature perchè quest'ultimo è un valore adimensionale, il primo no.
Ciò che sappiamo, invece, forzando un po' meno il testo, è che il rapporto tra il valore dello spessore della lastra e quello del raggio deve essere minore di 1. Ma anche utilizzando tale rapporto la semplificazione che hai proposto non va bene. Provo a spiegarmi:

Ora possiamo scrivere come e riscrivere l'equazione precedente così:

In questo modo siamo ritornati ad una situazione simile a quella che avevi proposto, ma sta volta il rapporto è veramente inferiore ad 1 ed è adimensionale, proprio come il rapporto tra le temperature. Ma il fatto che entrambi i rapporti siano minori di 1 non permette di semplificarli (un rapporto potrebbe essere mille volte l'altro, pur essendo entrambi molto piccoli).
La strada da percorrere è dunque un'altra.
L'unica possibilità mi sembra dividere la prima equazione che hai scritto, quella che analizza la potenza netta della faccia illuminata, per :

Ora il famoso rapporto tra le temperature viene sottratto a e perciò possiamo mandarlo a zero, in quanto non influisce su . Da qua ci si può ricavare .
Se trovi qualcos'altro bosone fammi sapere, grazie.

[bosone]

Avevo già provato questa strada per trovare ma poi sostituendo nell'altra equazione della non illuminata e riapplicando la condizione verrebbe assurdamente . Pertanto resto convinto del mio procedimento: infatti non c'è contraddizione con Pigkappa perchè quello che io scrivo in realta è un coefficiente di diffusione fratto metri cioè quello che Pigkappa ha indicato con ! Il ragionamento che poi fai sul valore in migliaia del raggio non è condivisibile. Il testo parla di una comune piastra circolara con spessore appunto trascurabile rispetto al raggio che può essere minore di un metro....

[Pigkappa]

L è sicuramente <<1 m ovvero numericamente equivalente, come dice il testo, alla frazione delle temperature: quindi pensavo che il loro rapporto numerico può porsi uguale a 1

Questa frase mi confonde molto, non so cosa vuoi dire ma ti porta a conclusioni errate. Non c'e' nessun valore numerico nel testo quindi non possiamo confrontare nulla con quantita' come "un metro" o "un kelvin" o simili.

Le tue equazioni di partenza erano giuste, dato che mi sembri un po' confuso sul come si puo' approssimare nel seguito, scrivo la mia soluzione e dimmi se riesci a seguirla. Spero di non aver sbagliato i conti.

Chiamo il flusso di calore emesso per irraggiamento dalla prima superficie, dalla seconda, flusso di calore che fluisce dalla superficie 1 verso la 2. Quando le temperature hanno raggiunto l'equilibrio, e .
Usiamo:



Otteniamo:


Facendo la differenza:

Per usare l'approssimazione data per cui , chiamiamo la temperatura media . Notiamo che nell'espansione di il termine in si annulla, quindi dovremmo andare al secondo ordine, quindi e' un'ottima approssimazione quella di fermarci qua all'ordine zero e sostituire per entrambe le temperature.

E' chiaro quel che sto dicendo qua? L'espansione di sarebbe:

E quella della somma:

Come vedi il termine in e' scomparso, quindi se approssiamo con facciamo un errore di dimensioni e se e' piccolo, il suo quadrato sara' microscopico. In questo problema non possiamo sempre trascurare perche' se lo facessimo troveremmo che le due temperature e sono uguali, ma possiamo trascurare .

Continuando:




Quindi

[bosone]

Capisco il senso generale ma poi ci sono dei dettagli nei conti che non mi tornano. Le equazioni vanno bene a parte i simboli confermano le mie. Le approssimazioni mi generano problemi. Cominciamo da alcuni e via via nei prossimi giorni vedrò di seguirti. Quando dici che nella somma delle quarte potenze il termine scompare è perche la somma vale scegliendo di porle uguali a T? E quando sviluppi che è il quadrato del quadrato a me verrebbe anche il termine che poi dovrebbe permanere nella somma delle quarte potenze dove tu dici che scompare. Scusami ma può darsi che faccia errori e ti ringrazio se puoi correggermeli fino a qui per ora