297- SNS Doppio strato

[roncu]

Lo strato è occupato dalla densità di carica mentre lo strato è occupato dalla densità costante. Una particella di massa m e carica q>0 con velocità iniziale si avvicina al piano z=0 proveniendo da una distanza dal piano grande rispetto ad a.
1. Si determini se la particella può attraversare o meno entrambi gli strati carichi.
2. Si determini la velocità finale una volta che si sia allontanata da z=0 a distanza grande rispetto ad a
3. E' possibile che la particella non si allontani più ad una distanza maggiore di a da z=0?

[Luca Milanese]

Il campo elettrico generato dal doppio strato è chiaramente diretto lungo l'asse delle in ogni punto dello spazio, e dipende solo da :

Per punti esterni al doppio strato, ciascuno dei due strati può essere visto come un piano infinito uniformemente carico con densità superficiale di carica , perciò i campi elettrici generati dai due strati si annullano, da cui in particolare . Per la Legge di Gauss, vale:

Da cui si ricava l'espressione del campo elettrico nel doppio strato:

E di conseguenza l'espressione del potenziale elettrico (prendendone lo zero in ):

1. Lungo gli assi e non agiscono forze, pertanto la particella mantiene le componenti iniziali della velocità lungo queste direzioni. La differenza di potenziale tra i due lati del doppio strato è:
, e dalle espressioni trovate si vede che è monotonicamente crescente, perciò la particella attraversa entrambi gli strati se e solo se:

2. Dalla conservazione dell'energia si trova la velocità finale lungo :

Perciò:

3. Sì, è possibile. Se , allora la particella inverte il proprio moto lungo prima di giungere a , e viene espulsa dal doppio strato. Se invece , allora la particella raggiunge dopo un tempo infinito, e in particolare resta intrappolata tra e . Infatti, essendo un punto di equilibrio per la particella, per la reversibilità della meccanica, a parità di energia il tempo impiegato dalla particella per andare da a è lo stesso che impiegherebbe a compiere il percorso inverso. Tuttavia, avendo per questo valore di la particella velocità lungo nulla in , nel percorso inverso rimarrebbe lì ferma.
Altrimenti, dalla conservazione dell'energia, si può ottenere l'equazione del moto della particella per :

Che, integrata, mostra ugualmente che il tempo totale diverge.

[roncu]

Si mi sembra corretto e quindi puoi postare il 298 Prima tuttavia riterrei opportuno che tu rispondessi più puntualmente alle nella forma come usa il testo. Quindi nell'unico caso esplicitato quando la particella supera il doppio strato, puoi moltiplicare e dividere il sottraendo per in modo da evidenziare . Anche nel caso z=a specificherei il tipo di equilibrio cui accenni esplicitando la . Infine nel caso della riflessione della particella espliciterei la dell'espulsione e se esiste l'analogia con qualche moto noto.

[Luca Milanese]

Ricapitolando, allora, le tre possibili velocità finali sono:
;
;

L'analogia è quella con il moto di una pallina che viene sparata contro l'estremità libera di una molla inizialmente non allungata e il cui altro estremo è fissato.