274 - Triangolo di cariche

[DeoGratias]

Tre cariche puntiformi giacciono una ad ogni vertice di un triangolo. Le loro masse sono , , e le loro cariche sono rispettivamente , , . Quando vengono rilasciate dal riposo, ognuna si muove lungo una diversa linea retta.
Il rapporto tra masse e cariche è , con , reali positivi maggiori di uno. Trovare gli angoli interni del triangolo in funzione di

[Luca Milanese]

Assumo che l'attrazione gravitazionale sia trascurabile rispetto all'interazione elettrica fra le cariche. Poichè e sono positivi, tutte le cariche hanno lo stesso segno, e si respingono. Se gli angoli restano costanti, allora la forza elettrica fa allargare le cariche in modo che i rapporti tra i lati restino pure costanti e il triangolo si dilati attorno al baricentro del sistema (che è fermo non essendoci forze esterne). Pongo lì l'origine del sistema di riferimento:

Dalla Legge di Coulomb e dalla Seconda Legge di Newton si ha:

Inoltre, allontanandosi la prima carica radialmente dall'origine, si ha , e dunque:

Sostituendo :

Da cui:

E quindi, essendo le tre cariche non allineate, si deve avere:

Il ragionamento si estende facilmente alle altre cariche, perciò, detti e ciclici i lati del triangolo, si ha:

Ovvero:

Infine, per il Teorema del Coseno:

[DeoGratias]

Esatto, vai con il 275!