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Un contenitore cilindro e' immerso in un campo di gravita' non uniforme:

$g(z)=g+g_0e^{-z/z_0}$

dove $g$ e' una costante.
All'interno del cilindro c'e un liquido di densita uniforme $\rho$ . Il cilindro ruota con velocita angolare $\omega$ rispetto all'asse verticale $z$ . Indichiamo inoltre con $r$ la direzione radiale. A causa della rotazione, si osserva che dopo un certo punto la superficie libera (cioe la superficie di fluido a contatto con l'atmosfera) non e' piu piana.
Determinare l'equazione che descrive la superficie libera. Commentare il caso $z/z_0 >>1$ .

Abbiamo $\displaystyle \vec g(z) = -(g+g_0 e^{-z/z_0})\hat z$ . La velocità di un elemento di fluido a distanza $r$ dall'asse $z$ è $\vec v(r)=\omega r \hat \phi$ , la sua accelerazione è $\vec a(r)= -\omega^2 r \hat r$ . In verticale si ha equilibrio dinamico, quindi vale la legge di Stevino $\frac{\partial P}{\partial z}=-\rho g(z)$ .
In direzione radiale, su un elemento di fluido di volume $\text{d}V=r\text{d}r\text{d}z\text{d}\phi$ e massa $\text{d}m=\rho r\text{d}r\text{d}z\text{d}\phi$ agisce una forza in orizzontale data dal gradiente di pressione in direzione radiale:
$\text{d}\vec F=\text{d}A(P(r)-P(r+\text{d}r))\hat r=-r\text{d}\phi\text{d}z\frac{\partial P}{\partial r}\text{d}r\hat r$
Perciò, dalla Seconda Legge di Newton:
$\text{d}\vec F=\vec a \text{d}m \Rightarrow \frac{\partial P}{\partial r}=\rho \omega^2 r$
Dalle due equazioni di sopra, integrando, si ottiene la pressione in ogni punto:
$P(r,z)=\frac{\rho \omega^2 r^2}{2}-\rho(gz-z_0g_0e^{-z/z_0})-\rho g_0 z_0+p_0$
Dove $p_0$ è la pressione atmosferica e ho imposto che la superficie libera passi per il punto $(0,0)$ . L'equazione della superficie libera del fluido si ottiene cercando il luogo dei punti a pressione $p_0$ :
$\frac{\omega^2 r^2}{2}=gz+g_0z_0(1-e^{-z/z_0})$
Nel caso $z/z_0 \gg 1$ , cioè per punti della superficie lontani da $(0,0)$ , si ottiene $e^{-z/z_0} \approx 0$ e dunque:
$\frac{\omega^2 r^2}{2}=gz+g_0z_0 \Rightarrow z(r)=-\frac{g_0 z_0}{g}+\frac{\omega^2 r^2}{2g}$
Dunque la superficie del liquido è approssimabile a quella di un paraboloide con concavità rivolta verso l'alto.

Volevo solo osservare che penso si possa trovare la soluzione di Luca in maniera molto meno sofisticata ma più semplice imponendo, come si fa sempre con i liquidi in rotazione,che la superficie libera sia la rotazione completa attorno all'asse di una curva del piano (r,z) passante per (0,0) e luogo dei punti per cui la risultante della forza peso e della forza centrifuga sia ortogonale alla curva stessa. Considerando una particella di liquido sulla curva z(r) il suo equilibrio dinamico è assicurato se $(dz/dr)=(\omega^2.r)/[g+g_0.exp(-z/z_0)]$ . Separando le variabili e integrando da 0 a r o a z si ottiene proprio $gz+ g_0 z_0 [1-exp(-z/z_0)] = \omega^2.r^2/2$ . Con quello che poi segue nel caso particolare.

Luca Milanese ha scritto: ↑
26 mag 2021, 15:54
Abbiamo $\displaystyle \vec g(z) = -(g+g_0 e^{-z/z_0})\hat z$ . La velocità di un elemento di fluido a distanza $r$ dall'asse $z$ è $\vec v(r)=\omega r \hat \phi$ , la sua accelerazione è $\vec a(r)= -\omega^2 r \hat r$ . In verticale si ha equilibrio dinamico, quindi vale la legge di Stevino $\frac{\partial P}{\partial z}=-\rho g(z)$ .
In direzione radiale, su un elemento di fluido di volume $\text{d}V=r\text{d}r\text{d}z\text{d}\phi$ e massa $\text{d}m=\rho r\text{d}r\text{d}z\text{d}\phi$ agisce una forza in orizzontale data dal gradiente di pressione in direzione radiale:
$\text{d}\vec F=\text{d}A(P(r)-P(r+\text{d}r))\hat r=-r\text{d}\phi\text{d}z\frac{\partial P}{\partial r}\text{d}r\hat r$
Perciò, dalla Seconda Legge di Newton:
$\text{d}\vec F=\vec a \text{d}m \Rightarrow \frac{\partial P}{\partial r}=\rho \omega^2 r$
Dalle due equazioni di sopra, integrando, si ottiene la pressione in ogni punto:
$P(r,z)=\frac{\rho \omega^2 r^2}{2}-\rho(gz-z_0g_0e^{-z/z_0})-\rho g_0 z_0+p_0$
Dove $p_0$ è la pressione atmosferica e ho imposto che la superficie libera passi per il punto $(0,0)$ . L'equazione della superficie libera del fluido si ottiene cercando il luogo dei punti a pressione $p_0$ :
$\frac{\omega^2 r^2}{2}=gz+g_0z_0(1-e^{-z/z_0})$
Nel caso $z/z_0 \gg 1$ , cioè per punti della superficie lontani da $(0,0)$ , si ottiene $e^{-z/z_0} \approx 0$ e dunque:
$\frac{\omega^2 r^2}{2}=gz+g_0z_0 \Rightarrow z(r)=-\frac{g_0 z_0}{g}+\frac{\omega^2 r^2}{2g}$
Dunque la superficie del liquido è approssimabile a quella di un paraboloide con concavità rivolta verso l'alto.

Esatto, puoi continure la staffetta.

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