259 Liquido in rotazione

Ein Bonner · Messaggio da **Ein Bonner** » 24 mag 2021, 20:47

Un contenitore cilindro e' immerso in un campo di gravita' non uniforme:

$g(z)=g+g_0e^{-z/z_0}$

dove $g$ e' una costante.
All'interno del cilindro c'e un liquido di densita uniforme $\rho$ . Il cilindro ruota con velocita angolare $\omega$ rispetto all'asse verticale $z$ . Indichiamo inoltre con $r$ la direzione radiale. A causa della rotazione, si osserva che dopo un certo punto la superficie libera (cioe la superficie di fluido a contatto con l'atmosfera) non e' piu piana.
Determinare l'equazione che descrive la superficie libera. Commentare il caso $z/z_0 >>1$ .

Luca Milanese · Messaggio da **Luca Milanese** » 26 mag 2021, 15:54

Abbiamo $\displaystyle \vec g(z) = -(g+g_0 e^{-z/z_0})\hat z$ . La velocità di un elemento di fluido a distanza $r$ dall'asse $z$ è $\vec v(r)=\omega r \hat \phi$ , la sua accelerazione è $\vec a(r)= -\omega^2 r \hat r$ . In verticale si ha equilibrio dinamico, quindi vale la legge di Stevino $\frac{\partial P}{\partial z}=-\rho g(z)$ .
In direzione radiale, su un elemento di fluido di volume $\text{d}V=r\text{d}r\text{d}z\text{d}\phi$ e massa $\text{d}m=\rho r\text{d}r\text{d}z\text{d}\phi$ agisce una forza in orizzontale data dal gradiente di pressione in direzione radiale:
$\text{d}\vec F=\text{d}A(P(r)-P(r+\text{d}r))\hat r=-r\text{d}\phi\text{d}z\frac{\partial P}{\partial r}\text{d}r\hat r$
Perciò, dalla Seconda Legge di Newton:
$\text{d}\vec F=\vec a \text{d}m \Rightarrow \frac{\partial P}{\partial r}=\rho \omega^2 r$
Dalle due equazioni di sopra, integrando, si ottiene la pressione in ogni punto:
$P(r,z)=\frac{\rho \omega^2 r^2}{2}-\rho(gz-z_0g_0e^{-z/z_0})-\rho g_0 z_0+p_0$
Dove $p_0$ è la pressione atmosferica e ho imposto che la superficie libera passi per il punto $(0,0)$ . L'equazione della superficie libera del fluido si ottiene cercando il luogo dei punti a pressione $p_0$ :
$\frac{\omega^2 r^2}{2}=gz+g_0z_0(1-e^{-z/z_0})$
Nel caso $z/z_0 \gg 1$ , cioè per punti della superficie lontani da $(0,0)$ , si ottiene $e^{-z/z_0} \approx 0$ e dunque:
$\frac{\omega^2 r^2}{2}=gz+g_0z_0 \Rightarrow z(r)=-\frac{g_0 z_0}{g}+\frac{\omega^2 r^2}{2g}$
Dunque la superficie del liquido è approssimabile a quella di un paraboloide con concavità rivolta verso l'alto.

Leo · Messaggio da **Leo** » 26 mag 2021, 17:39

Volevo solo osservare che penso si possa trovare la soluzione di Luca in maniera molto meno sofisticata ma più semplice imponendo, come si fa sempre con i liquidi in rotazione,che la superficie libera sia la rotazione completa attorno all'asse di una curva del piano (r,z) passante per (0,0) e luogo dei punti per cui la risultante della forza peso e della forza centrifuga sia ortogonale alla curva stessa. Considerando una particella di liquido sulla curva z(r) il suo equilibrio dinamico è assicurato se $(dz/dr)=(\omega^2.r)/[g+g_0.exp(-z/z_0)]$ . Separando le variabili e integrando da 0 a r o a z si ottiene proprio $gz+ g_0 z_0 [1-exp(-z/z_0)] = \omega^2.r^2/2$ . Con quello che poi segue nel caso particolare.

Ein Bonner · Messaggio da **Ein Bonner** » 27 mag 2021, 9:35

Luca Milanese ha scritto: ↑
26 mag 2021, 15:54
Abbiamo $\displaystyle \vec g(z) = -(g+g_0 e^{-z/z_0})\hat z$ . La velocità di un elemento di fluido a distanza $r$ dall'asse $z$ è $\vec v(r)=\omega r \hat \phi$ , la sua accelerazione è $\vec a(r)= -\omega^2 r \hat r$ . In verticale si ha equilibrio dinamico, quindi vale la legge di Stevino $\frac{\partial P}{\partial z}=-\rho g(z)$ .
In direzione radiale, su un elemento di fluido di volume $\text{d}V=r\text{d}r\text{d}z\text{d}\phi$ e massa $\text{d}m=\rho r\text{d}r\text{d}z\text{d}\phi$ agisce una forza in orizzontale data dal gradiente di pressione in direzione radiale:
$\text{d}\vec F=\text{d}A(P(r)-P(r+\text{d}r))\hat r=-r\text{d}\phi\text{d}z\frac{\partial P}{\partial r}\text{d}r\hat r$
Perciò, dalla Seconda Legge di Newton:
$\text{d}\vec F=\vec a \text{d}m \Rightarrow \frac{\partial P}{\partial r}=\rho \omega^2 r$
Dalle due equazioni di sopra, integrando, si ottiene la pressione in ogni punto:
$P(r,z)=\frac{\rho \omega^2 r^2}{2}-\rho(gz-z_0g_0e^{-z/z_0})-\rho g_0 z_0+p_0$
Dove $p_0$ è la pressione atmosferica e ho imposto che la superficie libera passi per il punto $(0,0)$ . L'equazione della superficie libera del fluido si ottiene cercando il luogo dei punti a pressione $p_0$ :
$\frac{\omega^2 r^2}{2}=gz+g_0z_0(1-e^{-z/z_0})$
Nel caso $z/z_0 \gg 1$ , cioè per punti della superficie lontani da $(0,0)$ , si ottiene $e^{-z/z_0} \approx 0$ e dunque:
$\frac{\omega^2 r^2}{2}=gz+g_0z_0 \Rightarrow z(r)=-\frac{g_0 z_0}{g}+\frac{\omega^2 r^2}{2g}$
Dunque la superficie del liquido è approssimabile a quella di un paraboloide con concavità rivolta verso l'alto.

Esatto, puoi continure la staffetta.

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