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Si considerino due sfere metalliche spesse concentriche: la sfera interna ha raggi e quella esterna . Lo spazio fra le due sfere è riempito con materiale dielettrico isolante di costante . Una carica è depositata sulla sfera interna ed una carica su quella esterna.
Determinare: 1) le densità superficiali di carica e le densità superficiali di polarizzazione 2) Se , la capacità del condensatore.

Definisco le densità di carica superficiale libera , , , con ovvio significato. Inoltre siano e le densità di carica di polarizzazione sulle superfici di raggi e .
La carica totale libera sulla sfera interna è , e similmente . Per il Teorema di Gauss, il campo elettrico tra i raggi e vale ; allo stesso modo, fra i raggi e , esso vale . Tuttavia, essendo le due sfere metalliche, esse sono conduttrici, e quindi al loro interno, se si è in condizioni di elettrostatica, il campo elettrico è nullo:


Da ciò, con le equazioni di sopra, si ricavano anche:


Tra i raggi e , dove è presente il materiale dielettrico, il campo elettrico vale . La polarizzazione vale , essendo , perciò . La densità di carica superficiale di polarizzazione si ottiene come , essendo il versore normale alla superficie.
A si ha , quindi .
A invece è e quindi
Infine, la differenza di potenziale fra i due gusci si ottiene come:
.
Per definizione si ha , quindi

Mah, direi che i risultati sono corretti e che il procedimento è inappuntabile. Vai pure con il prossimo che sarà ben più complicato !