255- Condensatore sferico

Leo · Messaggio da **Leo** » 10 apr 2021, 11:43

Si considerino due sfere metalliche spesse concentriche: la sfera interna ha raggi $a_1<a_2$ e quella esterna $b_1<b_2$ . Lo spazio fra le due sfere è riempito con materiale dielettrico isolante di costante $\epsilon_1$ . Una carica $Q_1$ è depositata sulla sfera interna ed una carica $Q_2$ su quella esterna.
Determinare: 1) le densità superficiali di carica e le densità superficiali di polarizzazione 2) Se $Q_2 = -Q_1$ , la capacità del condensatore.

Luca Milanese · Messaggio da **Luca Milanese** » 14 apr 2021, 14:07

Definisco le densità di carica superficiale libera $\sigma_{a_1}$ , $\sigma_{a_2}$ , $\sigma_{b_1}$ , $\sigma_{b_2}$ con ovvio significato. Inoltre siano $\sigma_{pa}$ e $\sigma_{pb}$ le densità di carica di polarizzazione sulle superfici di raggi $a_2$ e $b_1$ .
La carica totale libera sulla sfera interna è $Q_1=4\pi (a_1^2 \sigma_{a_1}+a_2^2 \sigma_{a_2})$ , e similmente $Q_2=4\pi (b_1^2 \sigma_{b_1}+b_2^2 \sigma_{b_2})$ . Per il Teorema di Gauss, il campo elettrico tra i raggi $a_1$ e $a_2$ vale $\vec E_a=\frac{\sigma_{a_1} a_1^2 \hat r}{\epsilon_0 r^2}$ ; allo stesso modo, fra i raggi $b_1$ e $b_2$ , esso vale $\vec E_b =\frac{Q_1+4\pi \sigma_{b_1} b_1^2}{4\pi \epsilon_0 r^2} \hat r$ . Tuttavia, essendo le due sfere metalliche, esse sono conduttrici, e quindi al loro interno, se si è in condizioni di elettrostatica, il campo elettrico è nullo:
$\vec E_a = \vec 0 \Rightarrow \sigma_{a_1}=0$
$\vec E_b = \vec 0 \Rightarrow \sigma_{b_1}=-\frac{Q_1}{4\pi b_1^2}$
Da ciò, con le equazioni di sopra, si ricavano anche:
$\sigma_{a_2}=\frac{Q_1}{4 \pi a_2^2}$
$\sigma_{b_2}=\frac{Q_1+Q_2}{4 \pi b_2^2}$
Tra i raggi $a_2$ e $b_1$ , dove è presente il materiale dielettrico, il campo elettrico vale $\vec E=\frac{Q_1 \hat r}{4\pi \epsilon_1 r^2}$ . La polarizzazione vale $\vec P=\epsilon_0 \chi_e \vec E$ , essendo $\chi_e=\epsilon_r-1=\frac{\epsilon_1}{\epsilon_0}-1$ , perciò $\vec P(r)=\frac{Q_1(\epsilon_1-\epsilon_0)\hat r}{4 \pi \epsilon_1 r^2}$ . La densità di carica superficiale di polarizzazione si ottiene come $\sigma_p=\vec P \cdot \hat n$ , essendo $\hat n$ il versore normale alla superficie.
A $r=a_2$ si ha $\hat n =-\hat r$ , quindi $\sigma_{pa}=-\vec P(a_2) \cdot \hat r = \frac{Q_1(\epsilon_0-\epsilon_1)}{4\pi \epsilon_1 a_2^2}$ .
A $r=b_1$ invece è $\hat n=\hat r$ e quindi $\sigma_{pb}=\frac{Q_1(\epsilon_1-\epsilon_0)}{4\pi b_1^2 \epsilon_1}$
Infine, la differenza di potenziale fra i due gusci si ottiene come:
$\Delta V=\int_{a_2}^{b_1} \vec E\cdot \text{d}\vec r =\frac{Q_1(b_1-a_2)}{4 \pi \epsilon_1 a_2 b_1}$ .
Per definizione si ha $C=\frac{Q}{\Delta V}$ , quindi $C=\frac{Q_1}{\Delta V}=\frac{4\pi \epsilon_1 a_2 b_1}{b_1-a_2}$

Leo · Messaggio da **Leo** » 15 apr 2021, 11:17

Mah, direi che i risultati sono corretti e che il procedimento è inappuntabile. Vai pure con il prossimo che sarà ben più complicato !

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