251- Frequenza di oscillazione

Leo · Messaggio da **Leo** » 17 mar 2021, 18:42

La frequenza di oscillazione di una corda dipende dalla sua lunghezza L, dalla forza T applicata ai suoi estremi e dalla sua massa lineare $\rho$ .
Trovare questa dipendenza usando solo l'analisi dimensionale.

Messaggio da **DeoGratias** » 18 mar 2021, 0:37

Ci provo

La frequenza ha come unità di misura $\frac{1}{s}=s^{-1}$

Vogliamo esprimerla in funzione di $L, T,\rho$ , che hanno rispettivamente come unità di misura

$L\rightarrow m$ ; $T\rightarrow N=kg*\frac{m}{s^{2}}=kg*m*s^{-2}$ ; $\rho = \frac{\Delta M}{\Delta L}\rightarrow kg*m^{-1}$

Possiamo esprimere la frequenza come $f=C*L^{\alpha }T^{\beta }\rho ^{\gamma }$ , dove C è una costante adimensionale.

Relativamente alle unità di misura, ciò corrisponde a $s^{-1}=m^{0}kg^{0}s^{-1}=(m)^{\alpha }(kg*m*s^{-2})^{\beta }(kg*m^{-1})^{\gamma }=m^{\alpha +\beta -\gamma }kg^{\beta +\gamma }s^{-2\beta }$
Impostando il sistema di equazioni a 3 incognite $\left\{\begin{matrix} \alpha +\beta -\gamma =0\\ \beta +\gamma =0\\ -2\beta =-1 \end{matrix}\right.$ , si ottiene che $\alpha =-1,\beta =\frac{1}{2}, \gamma =-\frac{1}{2}$ .
Quindi, sostituendo gli esponenti all'espressione precedente, si ha $f=\frac{1}{L}\sqrt{\frac{T}{\rho }}*C$

Leo · Messaggio da **Leo** » 18 mar 2021, 11:33

Ottimo. Vai con il prossimo.
P.S. Senza togliere nulla a DeoGratias viene per forza a quelli come me il complesso di postare problemi troppo facili: basta vedere la resistenza di un problema come quello precedente di Luca .....

Messaggio da **DeoGratias** » 19 mar 2021, 0:01

Tranquillo, non penso di essere messo meglio di te e credo che anche il mio problema sarà più facile di quello di Luca

comunque perfetto, domattina lo posto

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