230. Due urti

[east_beast]

Ci sono tre palle da biliardo identiche di massa che chiamo 1, 2, 3.
2 e 3 sono a contatto, 1 si muove con velocità verso il punto di contatto di 2 e 3, perpendicolarmente alla retta che unisce i centri di 2 e 3.
Quale sarà la velocità di 1 dopo l'urto, se:
A) 1 urta simultaneamente 2 e 3
B) 1 non è perfettamente "in traiettoria" e urta prima 2 e poi immediatamente 3

Ignorare attriti e gravità, considerare gli urti perfettamente elastici.
Chiedetemi pure se vi servono chiarimenti, il problema l'ho tradotto

[Phyyse]

Provo a dare una soluzione, anche se non mi convince molto.
Per la parte A, dato che le palle 2 e 3 vengono colpite contemporaneamente assumo che abbiano la stessa velocità in seguito all'urto per ragioni di simmetria. Combinando la conservazione della quantità di moto e dell'energia (dato che l'urto è elastico) dal problema posso ricavare due informazioni:
Risolvendo il sistema ottengo che .

Per la parte B, ho ipotizzato che la palla 3 non risenta nesun effetto dal primo urto, perché altrimenti la situazione sarebbe analoga alla parte A, e dato che la palla 1 torna indietro non potrebbe mai colpire la 3 immediatamente dopo. Quindi ho pensato di analzzare separatamente i due urti: il problema è che dato che le palle 1 e 2 hanno la stessa massa, in seguito al primo urto la palla 1 dovrebbe fermarsi, quindi la mia risposta sarebbe . Non mi convince perché nemmeno in questo modo la palla 1 riesce ad urtare la 3, e non riesco a capire come possa farlo. Intanto ci ho voluto provare.

[east_beast]

Hai fatto bene a provare, d'altronde il forum serve per imparare no?

Per la parte A, dato che le palle 2 e 3 vengono colpite contemporaneamente assumo che abbiano la stessa velocità in seguito all'urto per ragioni di simmetria.

Se ti riferisci al modulo della velocità, si, avranno lo stesso modulo. Tuttavia

Combinando la conservazione della quantità di moto e dell'energia (dato che l'urto è elastico) dal problema posso ricavare due informazioni:
Risolvendo il sistema ottengo che .

Credo che tu abbia fatto un po' di confusione. Infatti la conservazione della quantità di moto, che è una quantità vettoriale, si scrive come
Per quanto riguarda l'energia, la conservazione si può scrivere come
Ora cerca, attraverso la simmetria tra 2 e 3 e grazie ad un'altra idea, di risolvere questo sistema, e troverai il punto A

[bosone]

Sono impegnato con la maledetta matematica ma ti voglio sottoporre un'idea sulla conservazione dell'energia del sistema. Siccome dopo l'urto la conservazione dell'energia cinetica porterebbe a . Questo vorrebbe dire che è ortogonale a, diagonale del quadtrato di lato . Ciò vuol dire che quest'ultimo è diretto lungo l'asse x perchè di sicuro è diretto come y. Quindi il vettore e il vettoresono a 45°rispetto all'asse y, da parti opposte. Siccome il loro risultante deve essere v ciò vorrebbe dire che . Ho dubbi sul . Che ne pensi perchè l'osservazione sulla energia cinetica forse serve anche per la seconda parte. Due palle che si urtano obliquamente devono proseguire in direzioni ortogonali secondo me.

[east_beast]

Purtroppo è errato, prova a pensare alla direzione dell'impulso durante l'urto
Questa è l'idea che manca

[bosone]

Non so se intendi che al momento dell'urto i tre CM formano un triangolo equilatero di lato 2R e che le direzioni di e formerebbero un angolo di 30° con la verticale. Avevo già provato a fare i conti e mi veniva ma non mi convinceva e avevo preferito l'altra strada..Pazienza se è sbagliata anche questa!

[east_beast]

l'angolo di 30° gradi si forma con l'orizzontale, non con la verticale. Prova a rivedere i conti

[bosone]

Ma io avevo messo la velocità in verticale e la retta contenente 2 e 3 in orizzontale...Dovrebbe esser lo stesso ma proverò come dici tu..

[east_beast]

Perdonami, avevo invertito i segni ma il risultato è corretto, sia in modulo che in segno. Procedi pure col punto b, se hai idee

[Luca Milanese]

Faccio il punto b)
Chiamo la velocità iniziale della palla , la sua velocità dopo l'urto con , la sua velocità dopo l'urto con , la velocità finale di e la velocità finale di . Sistemo gli assi cartesiani in modo che e che il centro di si trovi a un'ordinata maggiore di quella del centro di . Quando due palle si scontrano, l'impulso si trasmette lungo la congiungente i loro centri. Pertanto, l'impulso trasmesso dalla alla vale . La è inizialmente ferma, perciò è la sua qdm finale, e dunque . Similmente, la qdm di dopo l'urto varrà poiché le masse di tutte le palle sono uguali. La conservazione dell'energia si scrive allora come:

Da qui trovo
Con gli stessi ragionamenti ottengo , , e quindi, in conclusione: