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Un filo infinito viene piegato a forma di V in modo che l'angolo al vertice sia . Lungo l'asse di questa V, a distanza dal suo vertice, nella parte di piano non racchiusa dal filo, viene posto un piccolo ago magnetico di momento di inerzia rispetto al centro di massa e momento di dipolo magnetico . L'ago è libero di ruotare attorno a un asse passante per il suo centro di massa, parallelo al piano contenente il filo e perpendicolare all'asse della V. Una corrente stazionaria viene fatta passare nel filo. Si determini il periodo delle piccole oscillazioni dell'ago.

Quando sono tornato mi era venuta l'idea di risolverlo in un certo modo. Ho sperato che qualcuno intervenisse ma in questa fase pre-test ho bisogno di sapere se sbaglio. Nella zona dell'ago secondo me tutto va come se ci fossero due fili percorsi da i costituenti due semirette da 0 a infinito: per fissare le idee nel braccio di sinistra della V, i va da infinito a 0 e nell'altro di destra va da 0 a infinito. In ciascuno l'integrale di Biot-Savart che fornisce B vale metà di quello rettilineo indefinito. I due campi hanno lo stesso senso per cui il campo risultante sull'ago è diretto verso il piano e varrebbe introducendo la permeabilità magnetica. Come se fosse un unico filo rettilineo indefinito. Il momento meccanico agente sull'ago si annulla quando i due vettori sono sovrapposti: se sono concordi l'energia è minima l'equilibrio è stabile e ci sono le piccole oscillazioni, se sono discordi l'equilibrio è instabile. e . Se per avventura fosse giusto o emendabile ti chiedo di postare tu il 225. Se è sbagliato il problema non si pone...

Le idee ci sono, ma sbagli quando dici che il contributo dei due rami della V è uguale a quello di un filo infinito (che dalla tua formula di suppongo tu abbia immaginato a distanza dall'ago, come sono in effetti le rette che contengono i rami di V). Infatti, benché i contributi dei due rami siano uguali, la loro somma non dà il tuo .

L'idea è la seguente: ricavare il campo magnetico di uno dei due fili visti come semirette sfruttando la legge di Laplace per il campo magnetico.
Dato un tratto infinitesimale in cui scorre una corrente , esso genera a distanza un campo magnetico dato da:

Sia la posizione dell'ago nello spazio, il piede di su uno dei due fili, con . Sia un punto sul filo e si definiscano i vettori e . Allora il triangolo è rettangolo al variare di ed ha un cateto fisso. Definito si hanno:


Il contributo al campo magnetico in funzione dell'angolo dato da:

Integrando tra quegli angoli per cui il filo è davvero presente nel piano, cioè e , si ricava il vettore campo magnetico in corrispondenza dell'ago, il quale andrà raddoppiato per la simmetria del problema attorno all'asse perpendicolare al piano dei due fili passante per l'ago:

A questo punto:


Attorno alla posizione di equilibrio il momento torcente risultante può essere espresso in funzione di un angolo piccolo da far valere l'approssimazione , giungendo alla classica forma del moto armonico:

A questo punto

Soluzione corretta. Vai con il 225!