224. Campo magnetico da un filo piegato

[Luca Milanese]

Un filo infinito viene piegato a forma di V in modo che l'angolo al vertice sia . Lungo l'asse di questa V, a distanza dal suo vertice, nella parte di piano non racchiusa dal filo, viene posto un piccolo ago magnetico di momento di inerzia rispetto al centro di massa e momento di dipolo magnetico . L'ago è libero di ruotare attorno a un asse passante per il suo centro di massa, parallelo al piano contenente il filo e perpendicolare all'asse della V. Una corrente stazionaria viene fatta passare nel filo. Si determini il periodo delle piccole oscillazioni dell'ago.

[bosone]

Quando sono tornato mi era venuta l'idea di risolverlo in un certo modo. Ho sperato che qualcuno intervenisse ma in questa fase pre-test ho bisogno di sapere se sbaglio. Nella zona dell'ago secondo me tutto va come se ci fossero due fili percorsi da i costituenti due semirette da 0 a infinito: per fissare le idee nel braccio di sinistra della V, i va da infinito a 0 e nell'altro di destra va da 0 a infinito. In ciascuno l'integrale di Biot-Savart che fornisce B vale metà di quello rettilineo indefinito. I due campi hanno lo stesso senso per cui il campo risultante sull'ago è diretto verso il piano e varrebbe introducendo la permeabilità magnetica. Come se fosse un unico filo rettilineo indefinito. Il momento meccanico agente sull'ago si annulla quando i due vettori sono sovrapposti: se sono concordi l'energia è minima l'equilibrio è stabile e ci sono le piccole oscillazioni, se sono discordi l'equilibrio è instabile. e . Se per avventura fosse giusto o emendabile ti chiedo di postare tu il 225. Se è sbagliato il problema non si pone...

[Luca Milanese]

Le idee ci sono, ma sbagli quando dici che il contributo dei due rami della V è uguale a quello di un filo infinito (che dalla tua formula di suppongo tu abbia immaginato a distanza dall'ago, come sono in effetti le rette che contengono i rami di V). Infatti, benché i contributi dei due rami siano uguali, la loro somma non dà il tuo .

[Leonhard Euler]

L'idea è la seguente: ricavare il campo magnetico di uno dei due fili visti come semirette sfruttando la legge di Laplace per il campo magnetico.
Dato un tratto infinitesimale in cui scorre una corrente , esso genera a distanza un campo magnetico dato da:

Sia la posizione dell'ago nello spazio, il piede di su uno dei due fili, con . Sia un punto sul filo e si definiscano i vettori e . Allora il triangolo è rettangolo al variare di ed ha un cateto fisso. Definito si hanno:


Il contributo al campo magnetico in funzione dell'angolo dato da:

Integrando tra quegli angoli per cui il filo è davvero presente nel piano, cioè e , si ricava il vettore campo magnetico in corrispondenza dell'ago, il quale andrà raddoppiato per la simmetria del problema attorno all'asse perpendicolare al piano dei due fili passante per l'ago:

A questo punto:


Attorno alla posizione di equilibrio il momento torcente risultante può essere espresso in funzione di un angolo piccolo da far valere l'approssimazione , giungendo alla classica forma del moto armonico:

A questo punto

[Luca Milanese]

Soluzione corretta. Vai con il 225!