200. Viva la staffetta!

[Luca Milanese]

Cosa si dice in questi casi? Ah, sì... Altre 200 di queste staffette!

Abbiamo un'asta rigida di lunghezza e priva di massa ai cui estremi si trovano due punti materiali di massa ciascuno. L'asta è posta in posizione quasi verticale, appoggiata a una parete, in modo che ci sia soltanto una distanza infinitesima fra la massa più in basso e la parete. L'asta comincia quindi a cadere, con la massa in alto che scivola lungo la parete e quella in basso che striscia sul pavimento. Non c'è attrito su nessuna superficie.
Calcolare le velocità dei due punti materiali nel momento in cui l'asta si stacca dalla parete.

[east_beast]

Prima di postare i calcoli tento le risposte, viene per caso per l'estremo più basso, e per quello più alto? Dove
Potrei aver fatto confusione coi prodotti vettoriali, mi confermi che il distacco avviene a , dove è l'angolo tra l'asta e la verticale, e che la velocità del CM al distacco è ?

edit 2: quel 27 è in realtà un ... maledetto Latex

[Luca Milanese]

L'angolo è giusto, invece le velocità non mi tornano (non ho capito poi quale sarebbe quella in alto e quale quella in basso...) e non ho capito cosa indichi con .

[east_beast]

Ah gia scusami, ho fatto di fretta.
Per comodità mentre la prima è quella dell'estremo piu basso, la seconda quella dell'estremo piu alto.
Edito il messaggio precedente

[Luca Milanese]

Ok adesso la velocità del cdm mi torna .

[east_beast]

Sinceramente le velocità dei due estremi, analogamente a prima, continuano a venirmi
e
1 è l'estremo superiore, 2 quello inferiore

[Luca Milanese]

Ho letto adesso il secondo edit, le velocità sono corrette! Posta pure il procedimento.

[east_beast]

Allora, innanzi tutto so che se chiamo l'estremo superiore 1 e quello inferiore 2, . per entrambi gli estremi (anzi in realtà vale per ogni punto, ma vabbè). è ovviamente il vettore che unisce il CM e il punto i.
Mi basta trovare e al distacco per avere le velocità di entrambi gli estremi.
Chiamo l'angolo tra l'asta e la verticale, fisso un SdR centrato nel "vertice della parete", chiamo x la distanza di 2 dall'origine e y la distanza di 1 il CM avrà allora coordinate . Noto che l'asta è rigida, quindi la sua lunghezza non varia, e per pitagora ho che , dividendo per 4: , ossia il CM si muove su una circonferenza di raggio con centro l'origine.
Per comodità sostituisco , noto che l'angolo che il CM spazza nel suo moto è proprio uguale a , in quanto si viene a formare istante per istante un triangolo isoscele con due lati uguali ad .
L'energia si conserva, quindi
con e
Da cui ottengo . Vogliamo sapere quando il CM non avrà piu accelerazione lungo x, quindi quando è massimo. Ponendo la derivata rispetto a theta uguale a 0, vedo che il distacco si ha quando , ovvero (serve per dopo il seno, tanto vale calcolarlo ora)
Ora torno nell'espressione di v, sostituisco, e poi faccio i due prodotti vettoriali ottenendo la risposta (se vuoi posto pure quelli, ma sono già morto di Latex )
P.S. cosa ho vinto per aver risolto il 200?
Spero non porti male perlomeno

[Luca Milanese]

Mi sembra che vada tutto bene, ho dato un'occhiata veloce ma se i risultati sono quelli corretti è difficile che sia errato il procedimento.
Per aver risolto il magico 200 vinci... il diritto di postare il 201!
Vai pure, ma lascio una domanda bonus che mi era venuta in mente risolvendolo:
Le reazioni vincolari di parete e pavimento, in questo caso, sono sempre perpendicolari agli spostamenti delle masse cui sono applicate. Tuttavia, ciascuna delle due compie un lavoro diverso da zero, poichè c'è sia una componente orizzontale che una verticale dello spostamento del cdm. Dimostrare allora che il lavoro totale compiuto dalle due è nullo (cioè che vale la conservazione dell'energia).
Magari è banale, ma mi era sembrata una cosa interessante.

[east_beast]

Poi faccio i conti, ma a naso mi viene da pensare che combinando le due equazioni cardinali, scomponendo la prima lungo i versori radiale e tangenziale (rispetto alla traiettoria del CM) magari insieme al fatto che prima di i due estremi non possono staccarsi dalle pareti, potrebbe uscire fuori che la somma vettoriale delle due reazioni è radiale? Può aver senso? nel caso poi provo