187. Secchio rotante

Spätzle · Messaggio da **Spätzle** » 5 mar 2020, 16:46

Un secchio cilindrico (altezza $2H$ , raggio di base $R$ ), messo in verticale, è riempito per metà d'acqua. Ruota attorno al suo asse con velocità angolare costante $\Omega$ . Qual è l'equazione che descrive la superficie dell'acqua? Qual è la distanza minima della superficie dal fondo del secchio?
Si supponga che $\Omega$ non sia sufficiente a far traboccare l'acqua.

(problema tratto dalle Dispense)

Luca Milanese · Messaggio da **Luca Milanese** » 5 mar 2020, 21:27

Ci provo. Immaginiamo di osservare una sezione verticale del secchio lungo un suo diametro, e poniamo un sistema di assi cartesiani con l'origine nel punto in cui l'acqua è più bassa (sappiamo già intuitivamente che verrà a formarsi qualcosa di simile a una U). Consideriamo ora la quantità $dm$ di acqua compresa fra i raggi $x$ e $x+dx$ , che forma cioè un cilindro molto sottile di altezza $y(x)$ . Il suo volume è allora $2\pi xydx$ , e $dm$ vale $2\pi xy\rho dx$ . Questo cilindro sta ruotando a una velocità angolare $\Omega$ , quindi su di esso agisce una forza centripeta $dF=\Omega^2 xdm$ . Questa forza è fornita dalla differenza di pressione $dp$ tra l'esterno e l'interno del cilindretto, e dunque vale $dF=Adp=2\pi xy dp$ . Eguagliando le espressioni di $dF$ ottenute si ottiene $dp=\rho \Omega^2 xdx$ . Consideriamo ora il moto lungo l'asse $y$ . È evidente che, a regime, l'acqua nel secchio non si muove in verticale, quindi vale la legge di Stevino $dp=\rho g dy$ . Sostituendo ancora si ottiene $dy=\frac{\Omega^2 xdx}{g}$ . Infine, integrando tra $0$ e un raggio arbitrario $r$ otteniamo l'equazione voluta: $y=\frac{\Omega^2 r^2}{2g}$ .
Ora osserviamo che la massa totale d'acqua contenuta nel secchio vale $\rho \pi R^2 H$ e che ovviamente rimane costante dopo che il secchio è stato messo in rotazione. Calcoliamo allora la massa come $\rho(\pi R^2 h + X)$ , dove $h$ è la distanza cercata (cioè l'altezza del punto $(0,0)$ ) e $X$ è il volume compreso fra il piano $y=0$ e la superficie dell'acqua. Questo volume si calcola come $X=\int_{0}^{R}\frac{\pi \Omega^2 r^3}{g}dr=\frac{\pi \Omega^2 R^4}{4g}$ , essendo $\frac{\pi \Omega^2 r^3 dr}{g}=Adr=2\pi r y dr$ il volume infinitesimo di un cilindretto come quelli descritti sopra. Concludiamo che $\rho \pi R^2 H=\rho\bigg(\pi R^2 h +\frac{\pi \Omega^2 R^4}{4g}\bigg)$ , cioè $h=H-\frac{\Omega^2 R^2}{4g}$ .

Spätzle · Messaggio da **Spätzle** » 6 mar 2020, 10:31

La tua soluzione è impeccabile. In questo problema, tra l'altro, si conserva anche il volume (non solo la massa).
Il testimone è tuo!

187. Secchio rotante

187. Secchio rotante

Re: 187. Secchio rotante

Re: 187. Secchio rotante