86. Colpire una torta

Antonio Mele · Messaggio da **Antonio Mele** » 24 lug 2016, 14:21

Una torta, assimilabile ad un cilindro omogeneo di massa $M$ e raggio $R$ , è appoggiata su un piatto girevole di massa trascurabile su cui non può scivolare, mentre è libera di ruotare senza attriti attorno ad un asse verticale che passa per il centro. Un proiettile di massa $m$ colpisce la torta e la attraversa, muovendosi perpendicolarmente all’asse del cilindro con velocità $v$ , che si assume sufficientemente elevata da poter trascurare la sua variazione durante il breve intervallo di tempo in cui avviene l’attraversamento. Finchè i due corpi sono a contatto la torta esercita sul proiettile una forza di attrito costante, in modulo pari a $Fa$ . Detta $x$ la distanza tra l’asse di rotazione e la traiettoria del proiettile ( $0$ ≤ $x$ ≤ $R$ ), si calcoli la velocità angolare $w$ della torta dopo che il proiettile l’ha attraversata in funzione di $x$ . In particolare si determini per quale valore di $x$ la velocità angolare è massima e il suo valore massimo, $wmax$ .

BeppeBogna · Messaggio da **BeppeBogna** » 25 lug 2016, 8:57

Potrebbe essere $w(x)= \frac{4F_a}{vMR^2}x \sqrt{R^2-x^2}$ ?

Antonio Mele · Messaggio da **Antonio Mele** » 26 lug 2016, 21:17

Esatto!
Trova il massimo e la staffetta sarà tua.
(Posta il procedimento)

BeppeBogna · Messaggio da **BeppeBogna** » 27 lug 2016, 16:03

Il tempo impiegato dal proiettile ad attraversare la torta è $t= \frac{2 \sqrt{R^2-x^2}}{v}$ e in tale intervallo di tempo su quest'ultima agisce un momento $M=F_ax$ , pertanto possiamo scrivere $F_axt=Iw(x)$ , dove $I= \frac{1}{2}MR^2$ è il momento di inerzia della torta. Sostituendo si ricava $w(x)$ , che assume il suo valore massimo $w_{max}= \frac{2F_a}{Mv}$ per $x= \frac{R}{\sqrt{2}}$ .

Antonio Mele · Messaggio da **Antonio Mele** » 27 lug 2016, 23:52

Perfetto!

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