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Un risultato molto importante in meccanica classica è che le uniche forze centrali per le quali ogni orbita limitata è chiusa (vale a dire che dopo un certo tempo la massa ripercorre la traiettoria che ha già fatto) sono quelle corrispondenti ai potenziali con e oppure e , cioè solo forze del tipo di quella elastica o del tipo di quella gravitazionale.
Non è una cosa semplice da dimostrare soprattutto perchè i conti sono molto lunghi, però si può dimostrare con pochi conti, ed è un bel problema da fare, che le uniche "candidate" ad avere la caratteristica che tutte le orbite limitate sono chiuse sono le forze centrali che derivano dai potenziali e sono attrattive. Sostanzialmente potete dimostrare in modo semplice che se una forza centrale ha una legge che non è una potenza allora di sicuro esistono oribite limitate ma non chiuse.
P.S. se si fanno le cose in modo preciso si può anche dire qualcosa in più su ...

[hint: per fare le cose in modo semplice considerate le orbite che si ottengono perturbando un pochino un orbita circolare]

Ciao Andrea! Scusa l'ignoranza ma ho un paio di domande... per piccola perturbazione di un moto circolare intendi un breve impulso? E per orbita limitata ma non chiusa intendi una serie di orbite che non si sovrappongono mai o un'orbita che si evolve per esempio allontanandosi continuamente o avvicinandosi al corpo che ne causa questo particolare moto?

P.S. che livello di conoscenze serve per risolverlo (sia di matematica che di fisica)?

Si per piccola perturbazione si intende quello: immagina di avere un corpo in orbita circolare di raggio intorno a un centro di forza, se l'orbita circolare è stabile, allora se un impulso esterno porta il corpo a un raggio , allora lorbita sarà "non proprio circolare" perchè durante la sua rotazione attorno al centro di forza, il modulo del raggio vettore oscilla intorno a . Puoi notare che se il rapporto tra il periodo di rotazione del corpo attorno al centro e il periodo delle oscillazioni del raggio non è un numero razionale, allora l'rbita risultante non è chiusa; l'idea della dimostrazione si basa su questo. Le conoscenze necessarie sono normale analisi. Comunque è meglio che metto un aiutino in più:
Mettendo insime conservazione dell energia e del momento angolare si ottiene:
e derivando tutto rispetto al tempo si ottiene dove è il potenziale e è il modulo della forza. Ora la conservazione del momento angolare può essere sfruttata ancora nella forma e usando questa sostituzione dell'operatore di derivazione temporale nell equazione precedente, ponendo dovreste ottenere .
Questa è un equazione differenziale del secondo ordine la cui soluzione è il reciproco dell'equazione dell'orbita quindi è molto comodo partire da questa.

Essendo si arriva a dove si è diviso i due membri per x', il primo termine discende dalla derivazione dell'energia cinetica radiale, il secondo da quella dell'energia cinetica perpendicolare a r e il secondo membro da quella dell'energia potenziale.Sviluppando in serie per si può porre arrestandoci al primo termine . Quindi l'equazione del moto diventa . Se è una forza elastica essa può scriversi , equazione del secondo ordine non omogenea in cui x è data dalla soluz. generale di quella omogenea (moto armonico) e da una soluz. particolare di quella non omogenea che palesemente è il secondo membro diviso per il coefficiente di x nel primo. L'orbita si chiude se il periodo legato a questo coefficiente (pulsazione al quadrato) ha un rapporto razionale con quello dell'orbita circolare. Se invece gravitazionale o coulombiana attrattiva ottengo, con il solito sviluppo in serie del denominatore di k, . Mi sembra che la f sia candidata come dici tu se il coefficiente di x nel primo membro è positivo. Mi pare però che la cosa potrebbe funzionare anche con altre potenze attrattive. Certamente non funzionerebbe se f non fosse potenza di

Sisi certo ma infatti lo scopo non é dimostrare che per quelle due forze le orbite limitate sono chiuse, anche perchè è noto che per entrambe le uniche orbite limite sono ellissi... lo scopo è dimostrare che se la legge della forza non è una potenza allora esistono orbite limitate ma non chiuse

Consideriamo un corpo di massa soggetto ad un potenziale della forma con momento angolare . Calcoliamo la frequenza della piccole oscillazioni rispetto al raggio dell'orbita circolare .


Il corpo si discosta di dalla posizione di equilibrio con

L'accelerazione totale a cui è soggetto il corpo è :







Approssimando:



Riordinando:



Notiamo che



Si tratta proprio della condizione forza centripeta uguale forza gravitazionale per un corpo in orbita circolare. Dunque, raccogliendo e sostituendo per abbiamo:



Riconosciamo un moto armonico la cui frequenza è:



Mentre la frequenza dell'orbita circolare è semplicemente data da:



Il rapporto vale:



Un'orbita è chiusa se il rapporto tra le fequenze è un numero reale. Abbiamo quindi un infinito numero di candidati per cui abbiamo orbite chiuse, tra cui sono compresi e .

Le orbite chiuse sono però approssimate, poiché abbiamo approssimato al secondo ordine per ottenere il risultato. Il teorema di Bertrand dice che esse sono "esattamente chiuse" per e

Il problema si risolve molto più velocemente se consideriamo che

Dove è la derivata seconda del potenziale efficace, dove è:



Come si vede subito, otteniamo immediatamente lo stesso risultato.

Riguardo a dire "qualcosa in più su ", possiamo notare che affinché ci sia il moto attorno al punto di equilibrio . Nel caso , cioè abbiamo un massimo locale per e piccole perturbazioni crescerebbero invece che andare a 0, come ci dice anche il risultato ottenuto per la frequenza, che non ammette soluzioni per .