Onda su cavo a due densità

[Tatakai]

Ehilà! Voglio confrontare la mia risposta al punto b (e di conseguenza gli altri)
Un cavo teso orizzontalmente da un peso P in B e sollecitato verticalmente vicino ad A diventa sede di un’onda elastica che si propaga con velocità v lungo il cavo stesso. Il peso della corda è piccolo rispetto a P, così come è piccolo lo spostamento verticale rispetto al segmento AB.
(a) La velocità v dipende da P e dalla densità per unità di lunghezza m del cavo. Come?
(b) Si supponga ora il cavo composto di due pezzi di metalli diversi di densit`a m1 e m2 e lunghezze l1 e l2, giuntati in C, e che la perturbazione della corda sia sinusoidale con periodo T. Quale condizione deve essere soddisfatta affinch´e possa stabilirsi nella corda un’onda stazionaria con nodi in A, B e C?
(c) Qual è la minima frequenza alla quale si osserva l’onda stazionaria?
(d) In questo caso, quanti nodi si osservano sulla corda, inclusi A, C e B?

Hint su a):

Buone vacanze! (per chi se le po fa )

[arna1998]

(b): Affinchè ci sia un onda stazionaria con nodo in B, deve essere che con intero. Dato che e , possiamo ricavare la condizione:

Siccome la frequenza è la stessa in entrambi i cavi lo è anche il periodo, quindi con gli stessi passaggi otteniamo una condizione simile anche per il secondo cavo:
con intero.

Unendo le due precedenti:



Credo che per fare i punti (c) e (d) servano i dati numerici.

[andrea96]

No secondo me non servono dati numerici... pensa quando ottieni la frequenza minina e per trovare il numero di nodi usa la relazione che hai trovato tra h e k...

[Tatakai]

Ottimo! Allora, come sospettavo, non serve che sia il rapporto fra dispari quell' h/k (vedi http://www.oliforum.it/viewtopic.php?t=11598). Per c) io ho pensato che, sapendo fissi l1 e l2 e v1 e v2, per minimizzare la frequenza devo massimizzare il periodo, da cui k e h... e mi vengono solo quei tre nodi A C B.

PS: era il problema 3 dell'ammissione in normale '99-00

EDIT: e tra l'altro quando l'onda percorre due volte la lunghezza l2 (nei due versi) si sfasa di ricordando la formula ottenuta per l2, cioé non si sfasa affatto! L'unico cambiamento di fase è pi greco per il "rimbalzo" dell'inversione di verso, da cui si ha interferenza perfetta per creare l'onda stazionaria

[arna1998]

Forse ho capito, ma chiedo la vostra conferma,
Per fare fare in modo che valga la condizione ( che tra l'altro nel post precedente avevo scritto sbagliata... ) deve essere che sia razionale. A quel punto esisteranno e opportuni per far si che ci sia un onda stazionaria con nodi in A, B e C. E' giusto?

[andrea96]

Si bravo. Ora da li i punti C e D dovrebbero essere facili...

[arna1998]

(c) Dato che la frequenza è la stessa lungo tutto il cavo, è sufficiente che la trovo su uno dei due segmenti:


(d) Il numero di nodi invece è

[Tatakai]

Perfetto, da cui il massimo per k=h=1, come pensavo. Grazie a tutti!
ps: è vero, neanche mi ero accorto che la formula sopra fosse sbagliata, nonostante l'avessi scritta bene siamo sbadati

[arna1998]

Non vorrei dire una cavolata, ma non sono certo che il minimo numero di nodi sia per .

Questo perché se fosse vero significherebbe che che è una condizione particolare che non è detto che sia vera. Se per esempio , , e il minimo numero di nodi si ha per e con 30 nodi in totale.

[andrea96]

No effettivamente non si ha per h=k=1 perchè h e k non sono uguali... il minimo numero di nodi si ottiene quando il più piccolo tra h e k è uguale a 1 e l altro si ricava dalla relazione corrispondente tra h e k... supponiamo che h> k, allora poni k=1, ricavi h e li sommi