Forum OLIFIS

Sempre un IPhO vecchio, semplice ma molto carino

Si consideri un reticolo infinito di resistenze (tutte di resistenza ) come in figura. Si trovi la resistenza tra i due punti A e B.

Hahahahaha il buon vecchio lemma del dado <3

Simone256 ha scritto:Hahahahaha il buon vecchio lemma del dado <3

Simone256 ha scritto:Hahahahaha il buon vecchio lemma del dado <3

Ehm..., cosa??

Per coinvolgere il mondo del forum nell'ambito del lemma del dado (ideato alla scuola estiva di fisica).

Lanciando un dado:
se esce 1, 2, 3 hai perso;
se esce 4 lanci ancora;
se esce 5, 6 hai vinto.
Qual è la probabilitá di vittoria?

Trovo che la soluzione di questo problema sia moooolto simile all'idea che si deve avere per risolvere il problema della staffetta. In generale quest'idea è stata definita a sigillo "lemma del dado"

Per rendervi conto dell'incredibile potenza di questo lemma, tenete presente che alla scuola estiva lo abbiamo pensato ( più che altro ci siamo resi conto che tanti problemi diversi potevano essere ricondotti a quella stessa idea ) quando mi è venuta la geniale idea di tirare in ballo il problema 2 di matematica di ammissione alla normale del 2013. Se siete interessati al "lemma del dado" provate ad applicarlo anche in quel problema

A proposito di ammissione alla normale: oggi mi sono accorto che il problema 3 di questa IPhO è identico al problema 4 di ammissione di quest'anno
Forse conviene veramente farle le IPhO vecchie

Uhm dato che l'idea mi sembra molto interessante vi chiedo prima di tutto chiarimenti sul "lemma del dado". In particolare quel problema di probabilità io lo risolverei così:per vincere posso beccare i punteggi favorevoli a prima botta ( con probabilità ) oppure beccare il 4 (con probabilità ) e poi ritirare e vincere oppure ritirare ancora e vincere oppure ritirare ancora una volta in più e poi vincere e così via. In sintesi dovrei avere una roba del tipo . E' giusto?

Ora passando al problema io avevo pensato di farlo così: cerchiamo di trovare una formula che mi descriva per il esimo con finito la resistenza e di portarla all'infinito.
Ora detta la resistenza all' "colonna" , ci si rende conto che per come è fatto il circuito per passare a si deve mettere in parallelo una resistenza di con una resistenza e il loro parallelo in serie con un'altra resistenza .

Otteniamo allora una successione descritta da . Ora la serie è decrescente ma positiva ed ogni termine è maggiore di per cui ammetterà limite finito e lo troviamo scrivendo: . Il tutto ci porta ad un' equazione di secondo grado la cui soluzione positiva vale . A ben vedere il risultato era prevedibile dato che maneggiando un po' con la serie ci si rendo conto che è composta da frazioni il cui numeratore e denominatore sono numeri di Fibonacci consecutivi(il che btw l'ho trovato fighissimo XD).
Detto ciò al resistenza dovrebbe allora essere . E' corretto?

Giusto! Vai con il prossimo

Per il problema del dado, senza ricorrere a serie geometriche si poteva fare così:

Sia la probabilità di vincere. Allora

da cui otteniamo (bello come i trucchi da olimpiadi della matematica si possano usare anche in fisica )

Si la probabilità è però si puo fare in altri due modi molto piu semplici, uno dei quali è molto molto molto simile a quello che hai usato per trovare la resistenza.