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La prima parte di questo problema è facile e nota. Per andare avanti con la staffetta bisogna risolvere anche la seconda.

1) Si ha un conduttore sferico di raggio R nel vuoto. la sua conducibilità elettrica è , uniforme e isotropa
All'istante si è riusciti ad ottenere una distribuzione di carica uniforme

-Trovare per
-Dire se e come (in caso quantitativamente, se necessario inventando dati sul conduttore non forniti) se un osservatore fuori dal conduttore si può accorgere del rilassamento della distribuzione di carica

2) Trovare per un conduttore di stessa conducibilità, di forma generica, supponendo di sapere in ogni punto del conduttore, non necessariamente uniforme

è circa un ora e mezza che fisso il foglio dove ho fatto il problema (mentre avrei dovuto studiare italiano e filosofia visto che domani mi interrogano entrambe) perchè mi è venuto un risultato che non mi aspettavo per niente quindi fondamentalmente cercavo l'errore, ma, più guardo il foglio più mi convinco che è giusta... spero di non scrivere una stupidagine
Allora innanzi tutto è chiaro che se rispondo al secondo ho implicitamente risposto anche al primo.
Partendo dall'equazione che lega campo elettrico e densità di corrente:

applico la divergenza a entrambe i membri, e utilizzando la legge di Gauss e l'equazione di continuità
viene fuori:

che si risolve banalmente per parti:

dove si ddetermina dalle condizioni iniziali, quindi in conclusione:

sinceramente avevo iniziato ad usare il metodo per il caso della sfera e mi aspettavo seriamente che il risultato dipendesse da r, sono rimasto sorpreso che non lo fosse, poi ragionando sul caso generale mi sono convinto che non è poi così strano, anche perchè se nel caso semplice il risultato avesse avuto dipendenza da r, certamente il risultato nel caso generale non poteva essere indipendente dalla forma del conduttore. Alla fine la cosa che sicuramente non doveva tradire le mie aspettative ( e non lo ha fatto ) è che la densità deve andare a zero quando il tempo tende all'infinito...
Insultami pure se ho sbagliato

per il rilevamento da parte dell'osservatore esterno la prima cosa che mi viene in mente è che le cariche in moto emettono onde elettromagnetiche che possono essere rilevate in qualche modo dal tizio.

andrea96 ha scritto:per il rilevamento da parte dell'osservatore esterno la prima cosa che mi viene in mente è che le cariche in moto emettono onde elettromagnetiche che possono essere rilevate in qualche modo dal tizio.

Lui ha posto la domanda solo nel caso della sfera, e in quel caso si puo' dire qualcosa di piu'.

State facendo (bene) problemi difficili comunque, perdinci! Bravi entrambi!

Si infatti, si può dire qualcosa in più
Comunque la risoluzione è perfetta. La parte della sfera si poteva risolvere anche senza operatori, perché potessero provare tutti. Chi vuole cimentarsi è il benvenuto

Sistema la seconda parte del 1) e puoi procedere (non è semplice e non è banale da vedere. Ci sono anche più risposte, basta argomentare correttamente)

Per la questione dell osservatore devo pensarci un po.... per la risoluzioje senza operatori nel caso della sfera ti riferisci all utilizzo dell equazione di continutitá e il teorema di gauss usati in forma integrale? Se è cosi appena sono a casa scrivo anche quella..

Nel frattempo che mi vengano idee migliori a quelle molto confuse sulla rilevazione del rilassamento pubblico la soluzione al primo punto senza usare operatori e cercando di essere più chiaro possibile visto che non dovendo usare matematica complicata possono capire tutti (chiaramente come ha già detto Orso la soluzione possono trovarla tutti, quindi chi vuole farlo non legge oltre ):
La base di partenza è sempre . L'idea è quella di scrivere entrambe i vettori di quest'equazione in funzione della densità di carica. Collegare alla densità di carica è immediato utilizzando il teorema di gauss ( stavolta in forma integrale, quindi quella che conoscono tutti )



se è una superficie sferica concentrica al conduttore con raggio si ottiene:

.
Per collegare alla densità di carica dobbiamo ricorrere di nuovo all'equazione di continuità, ma stavolta in forma integrale; per chi non la conosce è deducibile con questo ragionamento: se prendo una superficie chiusa la corrente totale che esce dalla superficie, per la conservazione della carica deve essere uguale alla derivata cambiata di segno della carica interna alla superficie ( in fondo è semplicemente la definizione di corrente applicata a una superficie chiusa ); nel nostro caso la corrente totale su è quindi .
A questo punto dovrebbe risultare chiaro che la cosa più conveniente da fare è prendere l'equazione considerarne solo i moduli e moltiplicare entrambe i membri per e sostituirci le cose che abbiamo trovato con gauss e continuità. Visto che entrambe i membri sono integrali tra e di qualcosa, derivando tutto rispetto a l'equazione che viene è:

la cui soluzione, tenendo conto della condizione iniziale è:

OrsoBruno96 ha scritto: si può dire qualcosa in più

ma se dico che tra la configurazione iniziale e quella finale c'è una differenza di energia ( nella sfera ) di che deve uscire dalle sfera e può essere percepita dall'osservatore ho detto qualcosa di più???

Si, è dove volevo arrivare. Dove finisce questa energia?

beh sulla radiazione non mi sbilancio perchè dovrei risolvere le equazioni di maxwell in presenza di cariche e correnti, però senza alcun dubbio almeno una parte di quell'energia è dissipata per effetto joule e trasformata in calore visto che la sfera ha una conduttività finita ( e quindi una resistenza non nulla )