Nel frattempo che mi vengano idee migliori a quelle molto confuse sulla rilevazione del rilassamento pubblico la soluzione al primo punto senza usare operatori e cercando di essere più chiaro possibile visto che non dovendo usare matematica complicata possono capire tutti (chiaramente come ha già detto Orso la soluzione possono trovarla tutti, quindi chi vuole farlo non legge oltre
):
La base di partenza è sempre
. L'idea è quella di scrivere entrambe i vettori di quest'equazione in funzione della densità di carica. Collegare
alla densità di carica è immediato utilizzando il teorema di gauss ( stavolta in forma integrale, quindi quella che conoscono tutti )
se
è una superficie sferica concentrica al conduttore con raggio
si ottiene:
=\frac{Q_{interna}}{\epsilon_0}=\frac{1}{\epsilon_0}\int_0 ^{r} \rho (r) 4\pi r^2 dr)
.
Per collegare
alla densità di carica dobbiamo ricorrere di nuovo all'equazione di continuità, ma stavolta in forma integrale; per chi non la conosce è deducibile con questo ragionamento: se prendo una superficie chiusa la corrente totale che esce dalla superficie, per la conservazione della carica deve essere uguale alla derivata cambiata di segno della carica interna alla superficie ( in fondo è semplicemente la definizione di corrente applicata a una superficie chiusa ); nel nostro caso la corrente totale su
è quindi
 4\pi r^2 dr)
.
A questo punto dovrebbe risultare chiaro che la cosa più conveniente da fare è prendere l'equazione
considerarne solo i moduli e moltiplicare entrambe i membri per
e sostituirci le cose che abbiamo trovato con gauss e continuità. Visto che entrambe i membri sono integrali tra
e
di qualcosa, derivando tutto rispetto a
l'equazione che viene è:
)
la cui soluzione, tenendo conto della condizione iniziale è:
=\rho_0e^{-\frac{\sigma}{\epsilon_0}t})
(non è semplice e non è banale da vedere. Ci sono anche più risposte, basta argomentare correttamente)