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Un missile balistico (a quanto pare un missile che data una velocità iniziale, si muove per inerzia), viene lanciato dal polo nord. Il bersaglio si trova ad una latitudine ( se si trova nell'emisfero nord e se si trova nell'emisfero sud). A quale angolo (rispettto all'orizzonte) bisogna lanciare il missile per far sì che raggiunga l'obiettivo con una velocità di lancio minima?

Esprimendolo in gradi:

??

Esatto! Però sono curioso dello svolgimento perché esistono tipo 3 o 4 soluzioni carine e se a qualcuno interessa le vediamo tutte

ma devo considerare la terra sferica o ellittica?

Sferica va bene, se riesci a trovare l'angolo considerando la terra ellittica ancora meglio comunque (io sono riuscito a fare solo il caso sferico)

però con la terra sferica mi trovo in difficoltà a capire come l'angolo possa non essere zero... l'energia potenziale è la stessa al polo e sul bersaglio, per la conservazione del momento angolare la velocità angolare è la stessa e quindi per avere la minima velocità ( per la conservazione dell'energia ) dovrei avere velocità radiale nulla...

Orrida soluzione in geometria analitica:
Pensando a risultati assurdi mi sono tirato su le maniche e l'ho picchiato con i conti; voglio trovare l'orbita ellittica che richieda il minor dispendio di energia, quindi quella con l'asse maggiore minore possibile (l'energia associata ad un'orbita ellittica vale ). Sappiamo che il centro della terra occupa uno dei due fuochi e che il polo nord e il punto di atterraggio sono simmetrici rispetto a un asse dell'orbita ellittica. A questo punto comincia la parte mortale: Si risolve in coordinate cartesiane, si ottengono una famiglia di ellissi e si ricava la lunghezza dell'asse maggiore in funzione dell'asse minore; si trova il minimo e quindi la lunghezza dell'asse maggiore! A questo punto si può ricavare la velocità totale di lancio e con molti altri conti il momento angolare del missile... Con altri conti si trova il rapporto tra la velocità radiale e la velocità totale nell'istante del lancio che sarebbe il coseno del risultato; con magheggi algebrici si trova l'espressione scritta sopra!

Soluzione strafica in geometria sintetica:
Vista la semplicità del risultato ho pensato che si potesse raggiungere lo scopo con un po' di angle-chasing! L'ellisse è il luogo dei punti del piano tali che la somma delle distanze dai fuochi è costante, tale somma è la lunghezza dell'asse maggiore. Metto in allegato la figura:
Affinchè la somma (dove è il centro della terra, il polo nord e il secondo fuoco dell'orbita) sia minima deve essere perpendicolare all'asse maggiore e quindi al raggio terrestre!!! A questo punto ci viene in aiuto una proprietà formidabile dell'ellisse (e in generale delle coniche): se è la tangente all'ellisse nel punto allora gli angoli e sono congruenti!!! A questo punto se si ricorda che è angolo alla circonferenza rispetto all'angolo al centro il gioco è fatto:

Devi minimizzare , ma dato che lo hai fatto sono sicuro sia un errore di battitura per il resto perfetto! Vai con il prossimo!

Andrea, perché dovrebbero avere la stessa velocità angolare?

Hai perfettamente ragione errore mio
Butti un indizio per un'altra soluzione possibile?

bogcal11 ha scritto: Andrea, perché dovrebbero avere la stessa velocità angolare?

beh perchè visto che ,se la terra è sferica il punto e il bersaglio si trovano alla stessa distanza dal centro e visto che il momento angolare si conserva allora la velocità angolare al polo nord deve essere uguale alla velocità angolare al bersaglio