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Io di relatività ne so a ne capisco poco, però l'argomento mi affascina.
A volte quando mi concentro su certi casi ipotetici dove c'entra la relatività ho la sensazione di delirare. Eccone uno.
Supponiamo di avere una rotaia circolare di raggio R.
Su questa rotaia è posto un treno inizialmente fermo e lungo complessivamente , ovvero è lungo come la rotaia.
Questo treno parte da fermo e accelera indefinitamente fino a raggiungere una velocità v alla quale si possa ritenere non trascurabile l'effetto relativistico (facciamo finta che la tenuta della rotaia e delle ruote alla forza centrifuga sia infinita... tanto è un caso ipotetico ).
Allora poniamoci dal punto di vista di un osservatore fermo, solidale con la rotaia. Per questo osservatore la lunghezza del treno in movimento subisce la contrazione relativistica, e dunque lo vede lungo . Poiché l'osservatore vede la testa del treno sempre appiccicata alla coda, ed essendo il moto di ogni vagone perfettamente uguale a quello di tutti gli altri, per simmetria l'osservatore vede la forma del treno sempre circolare. Però siccome è più corto della rotaia sulla quale transita, che è ferma, i casi sono due:

1) Lo vede correre lungo una ciconferenza di raggio minore rispetto a quello della rotaia, ovvero .
Ma questa mi pare un po' strana come idea... devo forse concludere che lo vede viaggiare sospeso in aria????


2) Oppure c'è un'altra possibilità: per la traiettoria di un oggetto accelerato come questo treno cambia la geometria dello spazio e quindi cambia il che in questo caso diventa .
E qua il delirio raggiunge dunque il suo apice?
Mah...
Se per analogia pensiamo a uno spazio bidimensionale non piano, come può essere ad esempio una calotta sferica ovvero la superficie delimitata da un parallelo terrestre intorno al polo nord, la circonferenza di questo parallelo confrontata con la distanza che lo separa dal polo nord misurata lungo la superficie dà un rapporto che non è il classico ma è un valore minore, che posso chiamare . Ecco questo è pressapoco ciò che intendo dire.
Però di tutto ciò non sono affatto certo.
Sono fuso.

il problema non è sostanzialmente diverso (una sbarretta al posto di un treno, ma insomma... ) da quello proposto da Pigkappa nel topic "paradosso di Ehrenfest" qualche tempo fa, mentre il tuo ultimo discorso sulla curvatura è grosso modo quello che dicevo io qui
premesso che di relatività generale non so nulla, vediamo se si può dare una spiegazione intuitiva un po' a chiacchiere.
è evidente che tutto il problema non può essere capito per bene usando solo la relatività speciale (il moto è accelerato, non abbiamo strumenti adeguati), mentre la generale ci dà qualche elemento in più.
Principio di equivalenza in soldoni: l'accelerazione (in questo caso quella centripeta) è indistinguibile dalla gravità; quindi possiamo immaginarci che il treno orbiti attorno ad un oggetto massivo al centro della circonferenza. Perché il treno raggiunga velocità relativistiche in un'orbita di raggio fissato, la "stella" al centro deve avere una massa folle, e sappiamo da tutti i discorsi divulgativi sulla relatività generale che le cose molto massive deformano lo spaziotempo localmente, in particolare la geometria dovrebbe risultare curvata in modo "sferico" come nell'esempio dei paralleli terrestri di prima (in questo caso ci troveremmo ad una "latitudine" data da per far tornare le varie pi greche nel modo giusto )
Questo di sicuro non chiarisce in modo convincente il problema, ma almeno aiuta a capire cosa non funziona.

Bene, e allora passo al delirio successivo.
Supponiamo che al posto della rotaia ci sia una spira circolare superconduttrice inizialmente neutra nella quale viene fatta circolare una corrente di elettroni di conduzione che si mantiene da sola per un certo tempo. Ebbene, a causa della contrazione relativistica la densità degli elettroni in movimento dovrebbe aumentare, però per simmetria ciò dovrebbe avvenire in tutta la spira, mentre invece la densità dei protoni del reticolo cristallino, che sono fermi, deve restare sempre la stessa. Devo dunque concludere che si "crea" una carica totale netta negativa? Mai sentito dire che la relatività crei cariche! Dunque per spiegare questo caso dovrei concludere che le cariche negative corrono "apparentemente" lungo un percorso circolare di raggio minore della spira e concentrico con essa (come dire che il treno circola volando al di fuori della rotaia), oppure non saprei proprio che pesci pigliare!

E adesso, dopo tante domande, tento di dimostrare con un esempio una cosa che avevo letto ma che non avevo mai verificato: "l'interazione magnetica tra cariche rappresenta sostanzialmente la correzione relativistica dell'interazione elettrostatica".

Per fare ciò immagino il seguente scenario.
Sia un osservatore fermo solidale con un sistema Oxyzt. L'asse x sia orientato verso la destra del foglio, l'asse y sia orientato verso l'alto del foglio e l'asse z ortogonale al foglio e uscente da esso verso l'occhio sell'osservatore. Secondo questo osservatore che chiameremo O due cariche posive di valore uguale q viaggiano parallele sul piano xy a reciproca distanza r e a uguale velocità v diretta nel verso positivo dell'asse x, e all'istante t=0 transitanio per l'ascissa x=0. Sia poi un secondo osservatore, che chiameremo O', solidale con un sistema O'x'yzt' in movimento con la stessa velocità delle cariche. Secondo qesto osservatore le cariche sono ferme all'istante t'=0 e sono poste lungo l'asse y a distanza r tra loro. In entrambi i sistemi le due cariche sono vincolate a rimanere a distanza r tra loro fino agli istanti t=0 e t'=0 rispettivamente. In questi istanti le cariche vengono rilasciate, e quindi acquistano variazione di quantità di moto in direzione y a causa delle forze che reciprocamente agiscono su di esse. Si vogliono calcolare:
1) l'accelerazione per t=0 della carica 2 (quella situata ad ordinata y maggiore) nella visione di O
2) l'accelerazione per t'=0 della carica 2 (quella situata ad ordinata y maggiore) nella visione di O'
3) verificare che la visione di O' è coerente con le trasformazioni relativistiche tra i sistemi O' e O.

1) Visione di O (tutte le grandezze vengono valutate in t=0)
La carica 2 risente sia dell'interazione elettrostatica a causa del campo creato dalla carica 1, sia dell'interazione dovuta al campo magnetico causato dal movimento della carica 1, nel quale la carica 2 si muove con velocità v.



Per il campo magnetico uso la formula di Biot-Savart adattata al caso di carica singola che transita attraverso il piano yz:



da cui la forza risultante:



Questa forza corrisponde alla variazione di quantità di moto:



Sviluppando il calcolo della derivata si ha:



da cui:



La formula finale risulta dunque essere:




2) Visione di O' (tutte le grandezze vengono valutate in t'=0)
La carica 2 risente della sola interazione elettrostatica a causa del campo creato dalla carica 1, poiché in questo sistema di riferimento (inerziale) le cariche sono inizialmente ferme.



dunque la formula finale è:




3) Confronto tra le visioni di O' e di O (tutte le grandezze vengono valutate in t=0, t'=0)
Si tratta di prendere il risultato 2) e di trasformarlo secondo la trasformazione relativistica O'-O, sistemi entrambi inerziali che traslano l'uno rispetto all'altro con velocità relativa u (che nella visione di O è uguale a v).
Per fare ciò occorre eseguire le seguenti sostituzioni nella formula 2):



Sapendo che:



si trova:



per cui la formula finale 2), che rappresenta la visione di O', si trasforma in questo modo:



e quindi si ha il risultato finale



che collima perfettamente con la formula finale 1), poiché nella visione di O u = v.

Mamma mia, quanta buona volontà, complimenti!!

Già che siamo in tema ti propongo uno scenario su cui avevo impostato la mia tesina di maturità l'anno scorso
Dato il solito sistema Oxyz, consideriamo il piano z=-1 e quello z=1, entrambi carichi con densità superficiale (immaginiamo che la carica sia fissata ai piani);
a) mettiamo poi una carica nell'origine, inizialmente ferma, e facciamo scorrere il piano superiore a velocità .
b) Guardiamo ora la stessa cosa da un sistema inerziale in moto a velocità : vediamo il piano superiore fermo, quello inferiore e la carica puntiforme muoversi a velocità (il tutto all'istante iniziale).
Se ci limitiamo ad una descrizione non-relativistica i risultati sono incoerenti:
a) il campo elettrico è nullo in tutta la regione e quello magnetico è irrilevante perché la carica è ferma: la forza risultante è nulla e q resta ferma nell'origine;
b) il campo elettrico è ancora nullo in ma stavolta il campo magnetico generato dal piano che si muove (che è diretto lungo y) dà luogo ad una forza (diretta lungo z) sulla carica q (in moto lungo x), e questa devia ed esce dal piano z=0.

Questa incoerenza cade se consideriamo la contrazione delle lunghezze per i piani in moto (anzi, potremmo tra grandi virgolette "dedurre" la necessità della contrazione delle lunghezze da questo esperimento mentale e trovare il valore del fattore necessario a far tornare i conti)

Quanto al tuo paradosso sulle cariche in moto circolare, come al solido dove c'è di mezzo l'accelerazione non so proprio che pesci pigliare. Boh

PS: quanto alla natura profonda del legame relativistico tra elettricità e magnetismo, il bel tensore che ho in firma è la risposta definitiva

Sì infatti, a causa della contrazione della lunghezza nella direzione del moto il piano in movimento ha una densità di carica maggiore, dunque il campo elettrico tra i piani non è nullo e quindi la carica sente questo campo elettrico anche nel sistema in cui essa è ferma, mentre nel sistema in cui essa si muove sente la forza sia del campo elettrico che del campo magnetico. La forza totale nei due casi deve produrre lo stesso risultato in termini di variazione di quantità di moto sia nel sistema 1 che nel sistema 2.

Falco5x ha scritto: Supponiamo di avere una rotaia circolare di raggio R.
Su questa rotaia è posto un treno inizialmente fermo e lungo complessivamente , ovvero è lungo come la rotaia.
Questo treno parte da fermo e accelera indefinitamente fino a raggiungere una velocità v alla quale si possa ritenere non trascurabile l'effetto relativistico (facciamo finta che la tenuta della rotaia e delle ruote alla forza centrifuga sia infinita... tanto è un caso ipotetico ).
Allora poniamoci dal punto di vista di un osservatore fermo, solidale con la rotaia. Per questo osservatore la lunghezza del treno in movimento subisce la contrazione relativistica, e dunque lo vede lungo . Poiché l'osservatore vede la testa del treno sempre appiccicata alla coda, ed essendo il moto di ogni vagone perfettamente uguale a quello di tutti gli altri, per simmetria l'osservatore vede la forma del treno sempre circolare. Però siccome è più corto della rotaia sulla quale transita, che è ferma, i casi sono due:

1) Lo vede correre lungo una ciconferenza di raggio minore rispetto a quello della rotaia, ovvero .
Ma questa mi pare un po' strana come idea... devo forse concludere che lo vede viaggiare sospeso in aria????


2) Oppure c'è un'altra possibilità: per la traiettoria di un oggetto accelerato come questo treno cambia la geometria dello spazio e quindi cambia il che in questo caso diventa .

Ci sono vari punti. Cerco di fare degli esempi che sembrano non c'entrare niente, ma poi invece c'entreranno.

Siamo in relatività ristretta, in un sistema inerziale normalissimo che chiamiamo sistema "fermo". Supponiamo di avere due masse attaccate con una corda tesa, inizialmente ferme, che distano . Poi queste masse si mettono ad accelerare in una direzione parallela alla corda (sempre viste dal sistema fermo) fino a raggiungere una velocità .
Supponiamo che la corda si possa spezzare se viene tesa troppo.
Se supponiamo che durante e dopo l'accelerazione viste dal sistema fermo le navicelle abbiano mantenuto la stessa distanza
tra loro, ci chiediamo: la corda si è tesa o no? Se è troppo alta la corda può spezzarsi?
La risposta è che una volta finita l'accelerazione
se dal sistema fermo si vedono le due navicelle che distano e vanno a velocità , allora nel sistema di riferimento solidale alle masse (cioè quello che si muove a velocità , cioè quello da cui vedo le masse
ferme una volta finita l'accelerazione) la corda è più lunga di un fattore , è cioè lunga . Vale a dire che ciascuna navicella ha visto l'altra allontanarsi da sè stessa durante l'accelerazione, anche se dal sistema fermo le vedevo sempre alla stessa distanza. Quindi la corda si è tesa e avrebbe potuto spezzarsi!


Pensiamo ora al caso del sistema che ruota: se io ho tante masse disposte a cerchio collegate da corde (una specie di poligono a molti lati, in cui i lati sono formati dalle corde) e le masse si mettono a ruotare, se dal sistema fermo le masse sembrano mantenere le stesse distanze tra loro, ciascuna massa "vede le altre allontanarsi da sè" le masse adiacenti (metto le virgolette
perchè un singolo oggetto non costituisce un sistema di riferimento, ma per evitare discorsi lunghi e verbosi scrivo così), mentre "non vede allontanarsi da sè" le masse che stanno opposte rispetto al diametro (queste ultime le vede sempre alla stessa
distanza anche mentre il sistema accelera la rotazione).

Per cui nel problema posto da Flavio manca in realtà un'ipotesi:
se come ipotesi metto che dal sistema fermo si vedono le masse sempre alla stessa distanza, nel sistema "rotante" si vedranno essersi allontanate tra di loro (come descritto poco sopra).
Se invece si mette come ipotesi che loro si vedano sempre alla stessa distanza tra vicini, questo è possibile solamente facendo in modo che dal sistema fermo si veda il cerchio "restringersi", nel senso che le masse hanno anche un moto radiale viste dal sistema fermo.
Se invece si chiede che tutte rimangano alla stessa distanza tra loro, cioè che a ciascuna massa sembri che tutte le altre masse, sia le masse adiacenti che le masse che stanno opposte lungo un diametro rimangano alla stessa distanza, ebbene siamo alla triste verità: in relatività sia ristretta che generale, i corpi rigidi non esistono.

So che questa spiegazione non è esauriente anche se spero possa essere stata utile, eventualmente se avrò tempo ne scriverò una più completa.
Concludo con una precisazione:

Nel sistema fermo la geometria rimane quella normale.
E' vero che la teoria della relatività generale prevede che lo spazio possa avere geometrie non euclidee; ma questo avviene o quando ci si mette in sistemi non inerziali (nel sistema rotante, ad esempio) oppure quando si ha a che fare con la gravità (che non è il caso di questa discussione).
Se si descrivono cose accelerate o rotanti, ma viste da sistemi inerziali (come il sistema fermo di sopra), la geometria rimane quella normale! Cos'è che accelerano non modificano la geometria dello spazio se io le descrivo da sistemi inerziali! Se invece
voglio descrivere le cose dal sistema rotante, allora devo ricorrere alle geometrie strambe.
La relatività ristretta è perfettamente sufficiente quando si tratta di descrivere cose accelerate viste da sistemi inerziali.
La relatività generale entra in gioco solo quando entra in gioco la gravità. Se invece si vogliono descrivere le cose VISTE da un sistema accelerato, è utile utilizzare il formalismo e alcuni concetti della relatività generale, ma in realtà non c'è alcuna ipotesi fisica in più rispetto alla relatività speciale, si tratta solamente di strumenti matematici.