PreIPhO 2010 - Problema 1

[Rigel]

questo è il primo problema che hanno dato al TST di quest'anno. mancano alcuni disegni ma dovrebbe capirsi lo stesso.
"una palla è lanciata da un'altezza h verso il pavimento con una velocità iniziale diretta verso il basso. in tutte le domande successive trascurare l'attrito dell'aria.
1. descrivere il moto della palla e calcolare la massima altezza raggiunta dalla palla, nell'ipotesi che l'urto tra pavimento e palla sia elastico.
ora due palle omogenee di identico materiale e raggio r e 2r sono lasciate cadere da ferme. la più grande ha il centro a un'altezza h, mentre la più piccola è sopra l'altra a distanza trascurabile. le deformazioni prodotte dagli urti sono trascurabili.
2. descrivere il moto delle palle e calcolare l'altezza raggiunta dalla palla più piccola nell'ipotesi che i centri delle due palle siano sulla stessa linea verticale e che tutti gli urti siano elastici.
Suggerimento: si può considerare che la palla più grande urta il pavimento e rimbalza indietro prima di urtare con la palla più piccola.
ora le stesse due palle sono lasciate cadere come prima, solo che la palla più piccola ha una velocità angolare attorno ad un'asse orizzontale passante per il suo centro.
3. descrivere il moto delle due palle e calcolare la massima altezza raggiunta dalla palla più piccola e la distanza massima orizzontale raggiunta dalle due palle, nelle stesse ipotesi della domanda precedente e assumendo che le superfici delle due palle sono sufficientemente ruvide da poter considerare che non ci sia scivolamento durante l'urto tra le due palle.
ora le stesse due palle sono lasciate cadere nelle condizioni del punto 2, senza rotazione, ma con la variante che i loro centri passano per due rette verticali distanziate da una piccola distanza a. si aggiunga che le superfici delle due palle sono state lubrificate in modo da poter trascurare la rotazione delle due palle prodotta dall'urto. inoltre si assuma che nel sistema di riferimento nel quale la palla più grande è ferma, la palla più piccola rimbalza con un angolo simmetrico rispetto alla linea che unisce i centri delle due palle.
4. scrivere le equazioni che determinano la velocità delle due palle dopo il primo urto tra le due.
5. descrivere il moto delle due palle.
6. calcolare la massima altezza raggiunta dalla palla più piccola."

il punto 1 è facile, il 2 è uguale a un problema discusso tempo fa sul forum e non è impossibile, mentre le altre domande sono piuttosto difficili.
al punto 3 ognuno di noi ha dato un'impostazione diversa mentre quei pochi che sono arrivati al 4 hanno solo scritto le equazioni.
il tutto era complicato dal fatto che la descrizione del moto era quantitativa e che il raggio delle palle non poteva essere trascurato rispetto a h, cosa che andava a complicare ancora di più i calcoli (come se ce ne fosse stato bisogno )
divertitevi quanto volete

[spn]

[Off-topic] ma la soluzione ufficiale di questo problema sono io che me la sono persa, o non l'hanno più fatta uscire ?[/Off-topic]

[Rigel]

Credo proprio che non è mai uscita

[f.o.x]

è possibile che il sistema per trovarsi le velocità finali dopo l'urto tra le palline sia una cosa di questo tipo?



Io ancora non l'ho risolto, e sinceramente non so se lo farò mai Odio i sistemi e questo per me ha superato la lunghezza massima.

Per la terza parte è giusto considerare, oltre alla conservazione del momento angolare, anche la conservazione dell'energia cinetica rotazionale visto che non ci sono slittamenti ne altre forza dispersive?

[Rigel]

occhio che le due palle al momento dell'urto hanno velocità uguali in modulo per un semplice motivo. se vuoi puoi chiamare questa velocità, senza confonderti con quella della prima domanda, e fare i conti esplicitandola solo alla fine (è in funzione di dati noti). l'equazione che hai scritto per la conservazione dell'energia non mi convince tanto

Per la terza parte è giusto considerare, oltre alla conservazione del momento angolare, anche la conservazione dell'energia cinetica rotazionale visto che non ci sono slittamenti ne altre forza dispersive?

il momento angolare si conserva solo rispetto a un punto preciso (quale?). quanto alla conservazione dell'energia a rigor di logica dovrebbe valere perchè non c'è slittamento e quindi non c'è dissipazione, anche se è parecchio irreale. in questo caso non credo che basti considerare l'energia cinetica rotazionale

[f.o.x]

occhio che le due palle al momento dell'urto hanno velocità uguali in modulo per un semplice motivo

è vero, avevo considerato le due palle come se partissero alla stessa altezza, e però alla fine fossero una sopra l'altra.
Qiondi alla fine il sistema è:

(il verso positivo della velocità è quello verso l'alto)
quindi
e quindi trovo che
Speriamo che stavolta sia giusto

Per quanto riguarda il momento angolare, non avevo pensato al punto di riferimento, ma avevo semplicemente pensato:

Dove e è il momento d'inerzia della pallina più piccola. Dato che il momento si conserva si può scrivere:

e unendolo alla conservazione dell'energia cinetica rotazionale mi trovavo gli , infatti i momenti d'inerzia vanno annullandosi e rimane soltanto un fattore 4 per la palla grossa.

Ma ora è tutto diverso, il membro a primo termine () è riferito all'asse orizzontale come dice il testo, e l'asse rimane lo stesso anche per , ma per la palla grossa cambia (sia all'inizio che alla fine).

Potrei forse usare il teorema degli assi paralleli? Così dovrebbe essere come se mi riferissi sempre allo stesso asse.

[Rigel]

(il verso positivo della velocità è quello verso l'alto)

nella conservazione dell'energia, hai sottratto anzichè sommare le energie iniziali, ma per il resto è giusto

quanto al momento angolare, fissato un asse e dato un corpo in rotazione con velocità w attorno al proprio asse (che dista d da quello che hai scelto ed è parallelo ad esso) e con quantità di moto p, allora il momento angolare (in condizioni particolari che comunque qui sono soddisfatte) è , cioè il momento angolare è la somma del contributo della rotazione e del prodotto vettoriale della distanza tra i due assi e la quantità di moto.
al di là del sermone teorico, credo che se si considera il momento angolare rispetto a certi punti, allora non si conserva. in più nel testo della domanda parla di distanza orizzontale raggiunta dalle palle e questo ti da un hint su quello che potrebbe succedere l'urto

[f.o.x]

Con questa storia del momento angolare mi sto complicando la vita. Forse ci si può riuscire così:
-Se non c'è nessuno slittamneto, allora le due palle devono arrivare ad avre le stesse velocità angolari in modulo, un pò come due ingranaggi che vengono messi a contatto.
-Le velocità finali verticali rimangono le stesse di quelle del punto 2 (anche se le avevo sbagliate ), infatti l'energia cinetica traslazionale non influisce in alcun modo sull'urto "verticale", ma solo su quello "orizzontale", che quindi possono essere ritenuti indipendenti.
-la velocità orizzontale del centro di massa si può trovare considerando le palle come se scorressero una sull'altra, e a ciò ci serve l'equazione dove come R va presa la distanza tra punto di contatto tra le due palle e e il centro di massa di ognuna delle palle.

Se queste supposizioni sono corrette si ha che alla fine , almeno in modulo, e i versi saranno invece opposti.

e (se ho sbagliato di nuovo mi faccio monaco). Queste sono le velocità verticali dopo l'urto per le due palle, che per semplicità chiamerò (palla piccola) e tex]V_y[/tex] (palla grande).

e .

Ora, l'altezza massima che raggiungono le palle dovrebbe essere la stessa del punto 2 (senza contare l'errore), e cioè:
per la palla piccola e Dove è la distanza percorsa in caduta.

Prendiamo ora in esame una pallina per volta:

Priccola:



Grande:



Ora quello che dovevamo trovare è espresso in funzione dei dati noti (a parte w che però sappiamo trovare). Tuttavia non mi convince molto il fatto che i risultati siano così lunghi. Speriamo bene