Campo elettrico di un filo

[bogcal11]

Consideriamo un filo con densità lineare di carica . Dimostrare che il campo elettrico su ogni punto nello spazio si trova sulla bisettrice di .

Io l'ho fatto in maniera un po' troppo contosa, voglio vedere se c'è qualche altro modo

[Walter]

Forse ho capito male il testo però un filo con densità lineare di carica uniforme per la legge di Gauss dovrebbe formare un campo con simmetria cilindrica che vale: E=λ/(ε*2*π*r)
essendo r il raggio, il campo dovrebbe essere sempre perpendicolare al suddetto cilindro e quindi non passare per la bisettrice, no?

[Pigkappa]

Non è un filo infinito, ma inizia in A e finisce in B.

[Walter]

Ahhh giusto..

[Simone256]

Premetto che non sono sicuro se quello che sto dicendo è corretto:

Prova a dimostrare sta cosa che credo sia la stessa sotto altri termini...
Considerato un filo infinito carico uniformemente e un punto P esterno ad esso. Prendiamo due punti sul filo A e B tali che l'angolo APB è fissato e consideriamo il campo elettrico generato solo dal segmento AB. Dimostra che l'intensità del campo elettrico dipende solo dall'angolo APB e non dalla posizione precisa di A e B...
Per dimostrarlo usa angoli molto piccoli e verifica che il quadrato della distanza del segmentino AB da P è direttamente proporzionale alla lunghezza di tale segmentino (e quindi alla carica che possiede). In questo modo la tesi è immediata...

[bogcal11]

Oddio, sinceramente non lo so... Intendo, non so se equivalente dimostralo, ma se lo fosse dovresti spiegare meglio perché lo è.

Comunque mi sono appena accorto che ci sono le soluzioni dietro al libro
Aspetto che qualcuno pubblichi una soluzione e poi scrivo quella del libro che secondo me è molto interessante e forse pure riciclabile...

[Simone256]

Ok provo a scriverla anche se senza un disegno la vedo moooolto dura
Tracciamo la nostra bisettrice , essa intersecherà il filo in un punto . Ora poniamo il punto nell'origine delle coordinate e il segmento sull'asse delle , dimostriamo che il campo elettrico in ha componente sull'asse nulla.
Definiamo l'angolo ; ora c'è il punto delicato:
mettiamo in relazione biettiva tutte le coppie di angoli piccoli piccoli tali che ogni coppia è costituita da due angoli differenziali simmetrici rispetto alla bisettrice; ora consideriamo la coppia di segmentini del filo carico individuati da questi due angoli, il campo elettrico che genereranno in saranno l'uno il simmetrico dell' altro rispetto all'asse (tranne al più per l'intensità). Se l'intensità fosse però uguale le loro componenti parallele all'asse si annullerebbero rendendo il campo elettrico risultante diretto esclusivamente verso l'asse (spiegazione mooolto brutta, spero si capisca ). Dimostriamo ora che tutti i segmentini generano un campo di intensità uguale indipendentemente dal discostamento dell'angolo che li individua.
Un'angolo generico intercetta sul segmento due punti molto vicini e ; tracciamo la perpendicolare al segmento RC passante per , essa intersecherà il segmento in . Allora e dove è la distanza del punto dalla retta . Abbiamo infine dove abbiamo posto poichè vicini vicini (spero sia lecito).
Per ogni segmento molto piccolo quindi avremo che la sua carica sarà proporzionale al quadrato della distanza che esso ha da ; per i nostri molto piccoli.
Pertanto per quello scritto sopra la componente del campo elettrico sull'asse è nulla.

Ragazzi non sono sicuro che questa soluzione sia corretta... Pertanto delle correzioni sono ben accette (senza infierire)

[poor]

Si consideri nel piano ABC, AB come asse y e la retta condotta per C ad esso perpendicolare come asse x. L'ascissa di C a ordinata nulla sia mentre si indichino con gli angoli formati da AC e da BC con l'asse x. L'angolo formato da CP con l'asse x sia z, dove P è un punto compreso fra A e B di ordinata y. Si trova una espressione semplice per il vettore infinitesimo generato in C e diretto come CP (cioè formante l'angolo z con l'asse x)dalla carica infinitesima disposta all'ordinata y. Essendo e risulta . Moltiplicandolo per o per si trovano e . Integrandole fra e si determinano ed dal cui rapporto si deduce la direzione di .
Risulta . Usando le formule di prostaferesi risulta che il coefficiente angolare è proprio quello della bisettrice.

[NoRe]

Qualcosa mi suggerirebbe che un filo di questo genere genererebbe superfici equipotenziali ellissoidali.
Tuttavia non riesco a dimostrarlo. Sapreste aiutarmi?
Oppure la mia 'intuizione' è non corretta?

[Simone256]

Dai mi prendo coraggio per risponderti... Ho provato tempo fa a verificarlo impostando un'equazione nel piano cartesiano... Purtroppo mi uscivano alla fine conti molto brutti con logaritmi naturali sparsi ben lontani dalla nostra amata

Poi magari ho sbagliato il procedimento!