Compressione di un gas.

[Pigkappa]

Un lungo tubo di gas si estende da a . Per , il gas nel tubo è fermo ed ha densità uniforme, così che e per ogni e .
Nel punto il gas è confinato da un pistone che all'istante inizia a muoversi con velocità costante . Si assuma che in ogni istante il gas a contatto del pistone abbia la stessa velocità del pistone, così che . Si assuma inoltre che il comportamento del gas sia adiabatico, e quindi che esso sia descritto da un'equazione di stato nella forma .
Determinare e .


Attenzione: io non conosco una soluzione elementare di questo problema. Conosco una soluzione non elementare del problema più generale in cui il pistone si muove secondo una legge generica, e so che il risultato è particolarmente semplice nel caso di velocità uniforme, per cui penso che debba esserci un modo in cui possiate farlo, ma non c'è dubbio che sia un problema che consiglio solo ai più coraggiosi e interessati di voi.

[poor]

Nei giorni di vacanza ho notato questo problema di Pigkappa a 0 risposte e vorrei sapere se il mio approccio ha qualche prospettiva perchè ho molti dubbi in proposito.
Quando il gas si trova con il pistone fermo a , con densità e pressione tali che , istituiamo un sistema di ascisse con origine nell'ascissa iniziale del pistone fermo. Il pistone spazza nel tempo il volume con sezione del tubo ed urta nell'unità di tempo la massa di gas producendo una variazione di quantità di moto pari a poichè è come se il gas avesse velocità rispetto al pistone fermo e ne fosse respinto con velocità rispetto al pistone e quindi rispetto al tubo. E' corretto?
La variazione di quantità di moto per unità di tempo uguaglia la forza esercitata dal pistone sul gas per una pressione uguale a . Se questo fosse vero, il gas che da fermo era compreso fra ora sarebbe compreso fra e per metà sarebbe fermo e per metà avrebbe velocità . Non si sentirebbe ancora nulla per . E' possibile?

[Pigkappa]

Il pistone spazza nel tempo il volume con sezione del tubo ed urta nell'unità di tempo la massa di gas

La densita' del gas a contatto con il pistone e' solo all'inizio, purtroppo. Pero' forse puoi ragionare su un infinitesimo e trovare il modo di andare avanti.

[Pigkappa]

è come se il gas avesse velocità rispetto al pistone fermo e ne fosse respinto con velocità rispetto al pistone e quindi rispetto al tubo

Questa parte non l'ho capita. Stai dicendo che, nel sistema di riferimento del pistone, il gas arriva con velocità , e su questo siamo d'accordo, e viene respinto con velocità , e questo non ho capito perché dovrebbe essere vero.

[poor]

Il pistone spazza nel tempo il volume con sezione del tubo ed urta nell'unità di tempo la massa di gas

La densita' del gas a contatto con il pistone e' solo all'inizio, purtroppo. Pero' forse puoi ragionare su un infinitesimo e trovare il modo di andare avanti.

Non avevo capito il testo. Pensavo che il gas a contatto con il pistone fosse quello che per caso fin dall'inizio aveva, per agitazione termica, la stessa velocità del pistone.
Per la seconda obiezione ho pensato che, come nella teoria cinetica dell'Halliday, si verificasse un urto elastico che conferisse alla massa urtata una variazione di q.d.m. 2mv=mv-(-mv). E v rispetto al pistone è 2v rispetto al tubo. Devo ripensarci perchè allora non riesco a vedere come avviene l'interazione fra pistone e particelle "ferme". Non ci sono urti elastici con queste ultime ma solo "trascinamento" di quelle a contatto che poi trascinano le successive come in urti anelastici? Ma non capisco perchè dovrebbero essere urti anelastici.

[Pigkappa]

Ci può anche stare che una particella colpita dal pistone, se prima era ferma, cominci a muoversi a velocità 2v perché l'urto è quasi elastico. Però presto urterà un'altra particella che non è stata colpita dal pistone e le cederà un po' di energia.

Il problema è pensato come un problema di fluidodinamica in cui gli elementi di fluido interagiscono tra di loro e possono essere descritti da variabili continue come pressione e densità. Se la densità è estremamente bassa potrebbe succedere quello che suggerisci tu, cioè che una particella colpita dal pistone parte e ignora tutte le altre e mantiene la sua velocità per un lungo tempo. Potremmo anche porci il problema di cosa vuol dire "estremamente bassa" in questo caso, se vogliamo... Ad esempio, prova a pensare quanto ci vuole perché una particella che è stata colpita dal pistone ne urti un'altra, e poi guarda per quali valori di densità e velocità questo tempo è lungo.

[poor]

Ad esempio, prova a pensare quanto ci vuole perché una particella che è stata colpita dal pistone ne urti un'altra, e poi guarda per quali valori di densità e velocità questo tempo è lungo.

Se si immagina che abbia velocità v, si può pensarla come una sfera di raggio r che si muove fra altre sfere di raggio r. Come si fece in un problema sns si può supporre che essa abbia raggio doppio= diametro d e che le altre siano ferme e puntiformi. Essa descrive un cilindro che nel tempo ha il volume ed il numero di collisioni nel tempo è proporzionale a questo volume e al numero di particelle che ci sono nell'unità di volume (proporzionale alla densità, diciamo ). Per cui mi verrebbero un numero di collisioni nel tempo citato = . Dividendo per dovrei ottenere il numero di collisioni al secondo, il cui inverso dovrebbe essere il tempo fra due collisioni =
che mi risulta inversamente proporzionale a v e densità. Ma forse ho detto qualche sciocchezza e preferisco che controlli.

[Pigkappa]

Metti dei numeri ragionevoli per un esperimento che si potrebbe fare in laboratorio e vediamo quanto ci vuole per tornare all'equilibrio. Peraltro, chiediti se la velocità da usare è davvero quella o magari è la velocità del suono...

[poor]

Metti dei numeri ragionevoli per un esperimento che si potrebbe fare in laboratorio e vediamo quanto ci vuole per tornare all'equilibrio. Peraltro, chiediti se la velocità da usare è davvero quella o magari è la velocità del suono...

Avevo scritto con numero di molecole per unità di volume= con n numero di moli = massa gas/massa molare e numero di Avogadro per cui risulta con M=massa molare. In conclusione ponendo gas aria con diametro molare medio fra azoto (prevalente) e ossigeno pari a 150 pm e spingendo il pistone a 1 m/s, si ha se non sbaglio con densità dell'aria 1,3 kg/metro cubo. Un tempo insomma inferiore al milionesimo di secondo, sempre se non ho sbagliato.

Pensavo poi da qualche giorno al problema della trasmissione della compressione nel tubo per es. alla velocità del suono. Sono dubbioso sul mio ragionamento. Pensavo che la velocità V del suono potrebbe essere di due ordini di grandezza maggiore di quella v del pistone. Dato allora l'elemento d'aria situato all'ascissa x, questo non si muove fino al tempo . Nel caso ondoso il pistone va avanti e indietro e trasmette compressioni e rarefazioni per cui l'elemento citato va anche lui avanti e indietro con una certa ampiezza, una certa frequenza e una certa lunghezza d'onda legate alla V.
Ora il pistone invece va sempre avanti e quindi anche l'elemento dovrebbe andare sempre avanti per cui all'ascissa x si dovrebbero succedere via via elementi diversi di aria compressa e non lo stesso elemento oscillante. Pertanto mi verrebbe una cosa che non torna: lo spostamento all'ascissa x, diciamo s(x,t), mi verrebbe uniforme alla velocità V finchè non arriva il pistone dopo il tempo x/v . Il treno che passa (di pressione e di densità, che mi pare di saper calcolare) durerebbe altrettanto. Credo di non vedere qualcosa perchè non mi pare che c'entri con il calcolo fatto e ciò mi insospettisce alquanto...

[Pigkappa]

Il tuo post è un po' difficile da leggere. Scrivi direttamente densità e velocità in funzione di x e t come formule.

Non assumere ... Al massimo ti posso concedere .