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Definiamo la polarizzazione di una sostanza come il momento di dipolo elettrico per unità di volume. Si può dimostrare che per una sostanza isotropa con bassa densità, la polarizzazione è legata alla costante dielettrica relativa ed al campo elettrico locale dalla relazione:





Supponiamo che in un gas a bassa densità gli elettroni siano legati ai nuclei dei loro atomi da una forza di richiamo dove è la massa dell'elettrone e è una pulsazione che si trova almeno nel lontano ultravioletto.
Un'onda elettromagnetica piana e monocromatica di lunghezza d'onda nel vuoto (che si trova nel visibile) si propaga in questo gas. Dimostrare che l'indice di rifrazione del gas è legato alla lunghezza d'onda da una relazione nella forma:




Commento.)E' un problema complicato in cui ci sono da scoprire un po' di cose, fare qualche modello ragionevole (quanto potrà essere in un gas a bassa densità?) e scegliere le approssimazioni giuste. Non è per niente facile, ma richiede solo conoscenze che penso abbiate.

L’indice di rifrazione in un mezzo è
Sia una variazione nel campo elettrico locale del gas e la relativa variazione della polarizzazione. Sia il campo elettrico della radiazione luminosa, con w pulsazione che si trova nel visibile. Tale campo elettrico esercita una forza sugli elettroni. È possibile considerare solo la forza agente su un elettrone e la relativa perturbazione nella polarizzazione che tale forza produce. Sia lo spostamento dell’elettrone dalla distanza di equilibrio ( pari a ). Allora si ha:

Questa è l’equazione di un moto oscillatorio forzato. Ipotizzando che la soluzione sia del tipo , sostituisco e trovo che .
Supponendo che il gas sia idrogeno, la variazione nel momento di dipolo elettrico è (per gli altri gas cambia solo il fattore di proporzionalità, dovuto al numero di protoni nel nucleo) e quindi

D’altra parte la variazione nel campo elettrico è e pertanto:


Sia . Inoltre poichè si può approssimare

Ora è ragionevole supporre che in un gas sia (io sinceramente un gas ferromagnetico non ce lo vedo ) e quindi

Infine si ha che e posto si ottiene

Una verifica di l’ho fatta ponendo e
Sembra funzionare tutto, ma sarà giusto?

Giusto (più o meno, i conti non li ho controllati)!

Per la cronaca, non è una idea del tutto campata in aria, questo modello si fa per davvero. Volendo si può introdurre anche un termine di smorzamento , che permette di estendere la trattazione a casi più generali, ma in quel caso è inevitabile parlare di indici di rifrazione complessi e la cosa diventa più complicata.