Indice di rifrazione

Messaggio da **Pigkappa** » 11 giu 2010, 0:29

Definiamo la polarizzazione $\vec{P}$ di una sostanza come il momento di dipolo elettrico per unità di volume. Si può dimostrare che per una sostanza isotropa con bassa densità, la polarizzazione è legata alla costante dielettrica relativa $\epsilon_r$ ed al campo elettrico locale $\vec{E}$ dalla relazione:

$\vec{P} = \epsilon_0 (\epsilon_r -1) \vec{E}$

Supponiamo che in un gas a bassa densità gli elettroni siano legati ai nuclei dei loro atomi da una forza di richiamo $\vec{F}(\vec{r}) = - m_e w_0^2 \vec{r}$ dove $m_e$ è la massa dell'elettrone e $w_0$ è una pulsazione che si trova almeno nel lontano ultravioletto.
Un'onda elettromagnetica piana e monocromatica di lunghezza d'onda nel vuoto $\lambda$ (che si trova nel visibile) si propaga in questo gas. Dimostrare che l'indice di rifrazione del gas è legato alla lunghezza d'onda da una relazione nella forma:

$n(\lambda) = 1 + A + \frac{B}{\lambda^2}$

Commento.)E' un problema complicato in cui ci sono da scoprire un po' di cose, fare qualche modello ragionevole (quanto potrà essere $\mu_r$ in un gas a bassa densità?) e scegliere le approssimazioni giuste. Non è per niente facile, ma richiede solo conoscenze che penso abbiate.

Messaggio da **Rigel** » 16 giu 2010, 19:30

L’indice di rifrazione in un mezzo è $n=\sqrt{\mu_r\epsilon_r}$
Sia $\Delta E$ una variazione nel campo elettrico locale del gas e $\Delta P$ la relativa variazione della polarizzazione. Sia $E(t)=E_m\cos wt$ il campo elettrico della radiazione luminosa, con w pulsazione che si trova nel visibile. Tale campo elettrico esercita una forza sugli elettroni. È possibile considerare solo la forza agente su un elettrone e la relativa perturbazione nella polarizzazione che tale forza produce. Sia $\Delta r$ lo spostamento dell’elettrone dalla distanza di equilibrio ( pari a $r_0$ ). Allora si ha:
$m\ddot{r}=-mw_0^2\Delta r+eE_m\cos wt$
Questa è l’equazione di un moto oscillatorio forzato. Ipotizzando che la soluzione sia del tipo $\Delta r=A\cos wt$ , sostituisco e trovo che $\displaystyle A=\frac{eE_m}{m(w_0^2-w^2)}$ .
Supponendo che il gas sia idrogeno, la variazione nel momento di dipolo elettrico è $\Delta p=2e\Delta r$ (per gli altri gas cambia solo il fattore di proporzionalità, dovuto al numero di protoni nel nucleo) e quindi
$\displaystyle\Delta P=\frac{2e\Delta r}{(4/3)\pi r_0^3}$
D’altra parte la variazione nel campo elettrico è $\Delta E=E(t)$ e pertanto:
$\displaystyle\frac{3e^2E_m\cos wt}{2\pi r_0^3m(w_0^2-w^2)}=\epsilon_0(\epsilon_r-1)E_m\cos wt$
$\displaystyle\epsilon_r=1+\frac{3e^2E_m\cos wt}{2\pi\epsilon_r r_0^3mw_0^2}\left(1-\frac{w^2}{w_0^2}\right)^{-1}$
Sia $\displaystyle2A=\frac{3e^2E_m\cos wt}{2\pi r_0^3mw_0^2}\ll1$ . Inoltre poichè $w\ll w_0$ si può approssimare
$\displaystyle\epsilon_r\approx1+2A+2A\frac{w^2}{w_0^2}$
Ora è ragionevole supporre che in un gas sia $\mu_r\approx1$ (io sinceramente un gas ferromagnetico non ce lo vedo

) e quindi
$\displaystyle n=\sqrt{1+2A+2A\frac{w^2}{w_0^2}}\approx1+A+A\frac{w^2}{w_0^2}$
Infine si ha che $\displaystyle w=\frac{2\pi c}{\lambda}$ e posto $\displaystyle B=\frac{4\pi^2c^2A}{w_0^2}$ si ottiene
$\displaystyle n=1+A+\frac{B}{\lambda^2}$
Una verifica di $A\ll1$ l’ho fatta ponendo $r_0\approx10^{-10} m$ e $w_0\approx10^{17} s^{-1}$
Sembra funzionare tutto, ma sarà giusto?

Messaggio da **Pigkappa** » 16 giu 2010, 21:57

Giusto (più o meno, i conti non li ho controllati)!

Per la cronaca, non è una idea del tutto campata in aria, questo modello si fa per davvero. Volendo si può introdurre anche un termine di smorzamento $F(t) = -m \gamma \dot{x}(t)$ , che permette di estendere la trattazione a casi più generali, ma in quel caso è inevitabile parlare di indici di rifrazione complessi e la cosa diventa più complicata.

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